Matematyka.pl

Witam mam do policzenia taką oto całkę \(\displaystyle{ \int_{}^{} \sqrt{ \frac{x ^{3}-x ^{2} +x }{x-1} }}\) i nie mam pojęcia jak się za nią zabrać, proszę o wskazówki

Tutaj trzeba doprowadzić całkę do całki eliptycznej

\(\displaystyle{ \int{\frac{\sqrt{\left( x^2-x\right)\left( x^2-x+1\right) } }{x-1} \mbox{d}x }\\
x=t+\frac{1}{2}\\
\mbox{d}x = \mbox{d}t\\
\int{\frac{\sqrt{\left( \left( t^2+t-\frac{1}{4}\right)-\left( t+\frac{1}{2}\right) \right)\left(\left( t^2+t-\frac{1}{4}\right)-\left( t+\frac{1}{2}\right)+1 \right) }}{t+\frac{1}{2}-1} \mbox{d}t}\\
\int{\frac{ \sqrt{\left( t^2-\frac{1}{4}\right)\left( t^2+ \frac{3}{4} \right) } }{\frac{2t-1}{2}} \mbox{d}t}\\
\int{\frac{ \sqrt{\left( 4t^2-1\right)\left( 4t^2+3\right) } }{2\left( 2t-1\right) } \mbox{d}t}\\
\int{\frac{ \sqrt{-3\left( 1-4t^2\right)\left( 1+\frac{4}{3}t^2\right) } }{2\left( 2t-1\right) } \mbox{d}t}\\
\frac{ \sqrt{3} }{2}\int{ \frac{\sqrt{-\left( 1-4t^2\right)\left( 1+\frac{4}{3}t^2\right)}}{2t-1} \mbox{d}t}\\
=\frac{ \sqrt{3} }{2}\int{\frac{\left( 4t^2-1\right)\left( 1+\frac{4}{3}t^2\right) }{\left( 2t-1\right) \sqrt{-\left( 1-4t^2\right)\left( 1+\frac{4}{3}t^2\right)} } \mbox{d}t }\\}\)

Czynnik wymierny jest postaci \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{3} }{2} \cdot \left( \frac{8}{3}t^3+ \frac{4}{3}t^2+2t+1 \right)}\)

Przedstaw go w postaci sumy \(\displaystyle{ \frac{R\left( t\right)+ R\left( -t\right) }{2}+ \frac{R\left( t\right) -R\left( -t\right) }{2}}\)
Jedna z całek będzie wyrażona elementarne drugą sprowadzisz do całki eliptycznej

\(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{3} }{2}\left( \int{\frac{1+ \frac{4}{3} t^2}{\sqrt{-\left( 1-4t^2\right)\left( 1+\frac{4}{3}t^2\right)} } } \mbox{d}t}+\int{\frac{ \frac{8}{3}t^3+2t }{\sqrt{-\left( 1-4t^2\right)\left( 1+\frac{4}{3}t^2\right)} } \mbox{d}t}\right)}\)

Do pierwszej całki zastosuj podstawienie \(\displaystyle{ 2t= \frac{1}{\sqrt{1-z^2}}}\)
a do drugiej całki \(\displaystyle{ u=t^2}\)

Druga całka jest elementarna (jedno z podstawień Eulera, najlepiej pierwsze)
Pierwszą całkę wyrazisz przez sumę całek eliptycznych