Kryterium całkowe. Potęga w mianowniku.

Definicja szeregów liczbowych, kryteria zbieżności szeregów. Suma szeregu i iloczyn Cauchy'ego szeregów. Iloczyny nieskończone.
syrek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 79
Rejestracja: 28 cze 2014, o 22:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Opole
Podziękował: 8 razy

Kryterium całkowe. Potęga w mianowniku.

Post autor: syrek » 1 lip 2015, o 19:46

Witajcie,
mam dwa szeregi liczbowe w których należy zbadać zbieżność za pomocą kryterium całkowego.

\(\displaystyle{ \sum_{ n=1 }^{ \infty } \frac{\ln n}{n ^{2} }}\)

\(\displaystyle{ \sum_{ n=2 }^{ \infty } \frac{\ln n}{ \sqrt{n} }}\)

Podrzućcie proszę wskazówki jak to ugryźć.
Pozdrawiam

Awatar użytkownika
musialmi
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3466
Rejestracja: 3 sty 2014, o 13:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: PWr ocław
Podziękował: 382 razy
Pomógł: 434 razy

Kryterium całkowe. Potęga w mianowniku.

Post autor: musialmi » 1 lip 2015, o 19:54

To pierwsze podziała chyba, gdy podstawisz \(\displaystyle{ t=\ln n}\), a potem przez części. A to drugie niby podobne, ale chyba tak nie pójdzie.

Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 8691
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 1838 razy

Kryterium całkowe. Potęga w mianowniku.

Post autor: Dasio11 » 1 lip 2015, o 23:37

Pójdzie.

syrek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 79
Rejestracja: 28 cze 2014, o 22:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Opole
Podziękował: 8 razy

Kryterium całkowe. Potęga w mianowniku.

Post autor: syrek » 3 lip 2015, o 16:28

Drugi przykład na tapecie.

\(\displaystyle{ \lim_{ \epsilon \to \infty } [2x ^{ \frac{1}{2} } \ln x - 4x ^{ \frac{1}{2} } ]}\)

Sprawdzone na podstawie etrapeza, więc wynik powinien być prawidłowy.

Zatem zgodnie z zasadą :

\(\displaystyle{ \lim_{ \epsilon \to \infty } [(2 \infty^{ \frac{1}{2} } \ln \infty - 4 \infty ^{ \frac{1}{2} }) - (2 \cdot 2 ^{ \frac{1}{2} } \ln 2 - 4 \cdot 2 ^{ \frac{1}{2} } )]}\)

Czy mogę sobie pierwszą część odejmowania sprowadzić do mnożenia :

\(\displaystyle{ 2x ^{ \frac{1}{2} }(\ln x-2)}\) co da mi w rezultacie \(\displaystyle{ \infty}\) ?
Drugi składnik to liczba, zatem nieskończoność - liczba = nieskończoność.
Szereg rozbieżny.

Dobrze rozumuję?

ODPOWIEDZ