Matematyka.pl

Witam, mam problem z poniższym zadaniem:

Z wierzchołków dwóch równi pochyłych o jednakowych kątach nachylenia i wysokościach puszczono jednocześnie klocek o masie \(\displaystyle{ m_1}\) i walec o masie \(\displaystyle{ m_2}\). Klocek zsuwa się bez tarcia, a walec toczy się bez poślizgu. U podstawy równi wcześniej znajdzie się:
(A) walec; (B) oba jednocześnie; (C) zależy to od \(\displaystyle{ m_1}\) i \(\displaystyle{ m_2}\); (D) klocek.

O ile porównanie kuli z walcem nie sprawia mi trudności o tyle nie potrafię porównać klocka z walcem. Proszę o pomoc.

Musisz po prostu porównać przyspieszenie klocka z walcem. Oba mają postać
\(\displaystyle{ a=Ag\sin (\alpha)}\)
\(\displaystyle{ g}\)- przyspieszenie ziemskie, \(\displaystyle{ A}\)- pewien współczynnik, który musisz obliczyć.

Gudis24,
W tym wypadku rozpatrujemy zamianę energii potencjalnej na kinematyczną. Ta zamiana redukuje wpływ wielkości masy ( zobacz odnośne wzory ). Energia potencjalna dla obu przypadków jest taka sama co oznacza, że ( sumaryczna ) energia kinematyczna jest taka sama. Przy zsuwaniu się klocka z równi mamy do czynienia z zamianą energii potencjalnej na energię kinematyczną, zaś przy zsuwaniu się walca mamy zamianę energii potencjalnej na sumę jego energii kinematycznej ruchu postępowego i energii kinematycznej ruchu obrotowego ( większej od zera ). Oznacza to, że energia kinematyczna ruchu postępowego walca jest mniejsza niż energia kinematyczna ruchu postępowego klocka ( mniejsza o energię kinematyczną ruchu obrotowego walca ).
Odpowiedzią na pytanie w tym zadaniu jest "D".

Rozumiem, że są dwa sposoby rozwiązania tego zadania.

@Pablo82
Dziękuje za wyjaśnienie, nie wiem dla czego wcześniej na to nie wpadłem.

klocek: \(\displaystyle{ mgh= \frac{m V^{2} }{2}}\)

walec: \(\displaystyle{ mgh=\frac{m V^{2} }{2} + \frac{\frac{1}{2}m R^{2}\omega ^{2} } {2}}\)

No i po przekształceniach wychodzę na to, że
\(\displaystyle{ V_{k}= \sqrt{2gh}}\)

\(\displaystyle{ V_{w}= \sqrt{ \frac{4gh}{3} }}\)

1.\(\displaystyle{ V}\) klocka jest większe, więc na dole równi znajdzie się szybciej. Czy to jest dobrze rozwiązane zadanie?
2. Intryguje mnie sposób @sailormoon88, jak obliczyć współczynnik \(\displaystyle{ A}\) i od czego powinienem zacząć?

Z zasad dynamiki. Ciało obrotowe na równi
\(\displaystyle{ ma=mg\sin (\alpha)-T}\)
\(\displaystyle{ I\varepsilon=TR}\)
Mnożymy pierwsze równanie przez R i sumujemy stronami
\(\displaystyle{ maR+I\varepsilon=mgR\sin (\alpha)}\)
Wiemy, że
\(\displaystyle{ a=\varepsilon R}\)
Podstawiamy i wyznaczamy a
\(\displaystyle{ a=\frac{mgR^2 \sin (\alpha)}{I+mR^2}}\)
Dla walca
\(\displaystyle{ a=\frac{mgR^2 \sin (\alpha)}{0,5mR^2+mR^2}}\)
\(\displaystyle{ a=\frac{2}{3}g\sin (\alpha)}\)
Dla klocka mamy
\(\displaystyle{ ma=mg\sin (\alpha)}\)
\(\displaystyle{ a=g\sin (\alpha)}\)
Przyspieszenie klocka jest większe, więc prędzej znajdzie się na dole równi.