Matematyka.pl

Witam serdecznie wszystkich niosących pomoc!
Prosiłbym o podpowiedź, jak obliczyć poniższe całki zespolone:

\(\displaystyle{ a)\, \, \int_{0}^{2\pi} \frac{\cos{t}}{5+3\cos{t}}\,\text{d}t}\)

\(\displaystyle{ b)\, \, \int_{C} \frac{\cos{z^3-1}}{z^{19}}\,\text{d}z \quad \text{gdzie}\quad C:|z|=2\,\, \text{okrąg dodatnio zorientowany}}\)

Ad.
\(\displaystyle{ a)}\) Wydaje mi się, że podstawiam \(\displaystyle{ z=e^{it}\quad \cos{t}= \frac{1}{2} \left( z + \frac{1}{z} \right), \quad \mbox d z = i e^{i t} \; \mbox d t \iff \mbox d t = \frac{1}{i} \cdot \frac{\mbox d z}{z}}\) następnie liczę całkę z funkcji po podstawieniu za \(\displaystyle{ \cos{t}}\) jak wyżej: jest to \(\displaystyle{ \frac{1}{i} \int_C f(z) \; \frac{\mbox d z}{z} = 2 \pi \sum_{n = 1}^N \text{res}_{z_n} f}\). Czy się mylę?

\(\displaystyle{ b)}\) Tutaj nie wiem za bardzo jak zacząć. Powinien rozwijać w szereg?

Z góry dziękuję za wskazówki!

b) musisz znaleźć residuum, czyli z grubsza to co stoi przy \(\displaystyle{ z^{18}}\) w rozwinięciu w szereg funkcji z licznika.

Dziękuję za odpowiedź.

Powinno być: \(\displaystyle{ b)\, \, \int_{C} \frac{\cos{(z^3-1)}}{z^{19}}\,\text{d}z}\)

Mi wyszło, że po rozwinięciu na szereg \(\displaystyle{ \frac{\cos{(z^3-1)}}{z^{19}} = \frac{1}{z^{19}} \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{(z^3-1)^{2n}}{(2n)!}}\)
Więc dla \(\displaystyle{ n=3}\) otrzymam wyraz \(\displaystyle{ -\frac{(z^3-1)^{6}}{6!}}\). To przy \(\displaystyle{ z^{18}}\) będzie stało \(\displaystyle{ -\frac{1}{6!}}\). Stąd ta całka wyniesie \(\displaystyle{ -\frac{2 \pi i}{6!}}\)? Czy może źle to rozwiązuję?

Źle. Musisz znaleźć wyraz stojący przy \(\displaystyle{ z^{18}}\) w rozwinięciu funkcji \(\displaystyle{ \cos( z^3-1 )}\) w szereg Taylora wokół \(\displaystyle{ z = 0.}\)


Najłatwiej będzie skorzystać ze wzoru

\(\displaystyle{ \cos( z^3 - 1 ) = \cos z^3 \cos 1 + \sin z^3 \sin 1}\)

i na tej podstawie rozwinąć funkcję w szereg Taylora.