Matematyka.pl

Zadanka:
1. Jaka jest największa liczba \(\displaystyle{ c}\), którą można jednoznacznie przedstawić w postaci \(\displaystyle{ c=28x + 37y}\) dla pewnych naturalnych liczb \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) ?

2. Znajdź wszystkie pary liczb naturalnych \(\displaystyle{ \left( x,y\right)}\), spełniających równanie \(\displaystyle{ 19x+84y=1984}\).

3. Rozwiąż w zbiorze liczb naturalnych równanie \(\displaystyle{ 19x^{2} + 84y^{2} = 1984}\).

Pytanka:
1. Co to właściwie oznacza, że można coś przedstawić jednoznacznie? Wiem, że liczby \(\displaystyle{ 28}\) i \(\displaystyle{ 37}\) są względnie pierwsze. Oznacza to, że \(\displaystyle{ NWD\left( 28,37\right) =1}\). Ale co faktycznie mi to mówi?
2. Samo znalezienie rozwiązania nie stanowi jakiegoś większego problemu, ale... w jaki sposób rozwiązać tego typu równanie poprawnie? Tutaj ponownie liczby \(\displaystyle{ 19}\) i \(\displaystyle{ 84}\) są względnie pierwsze.
3. Podobnie jak w zadaniu drugim znalezienie rozwiązania nie stanowi problemu. Pytanie tylko jak należy to poprawnie "rozpisać"? Aby i z rachunków wszystko wyszło.

AD 1. Jeżeli wziąłbyś większą liczbę, to z chińskiego tw. o resztach miałaby postać \(\displaystyle{ 2007 + 28 \cdot 37 k}\), ale taką można zapisać już na dwa sposoby (przypatrz się uważnie współczynnikom).

AD 2. Pierwsze rozwiązanie jest oczywiste. Zauważ, że (dzięki względnej pierwszości) wszystkie będą postaci \(\displaystyle{ 100 + 84k, 1 - 19k}\), więc tylko dla \(\displaystyle{ k = -1}\) obie "współrzędne" będą dodatnie.

AD 3. Rozwiązujesz poprzednie zadanie i wybierasz te pary, które są kwadratami. W czym problem?

Jak z chińskiego twierdzenia o resztach dostaję liczbę \(\displaystyle{ 2007 + 28 \cdot 37 k}\) ?
Rozumiem, że muszę rozwiązać układ kongruencji:
\(\displaystyle{ x \equiv a \pmod{28} \\ x \equiv b \pmod{37}}\)
Tylko co należy wstawić za \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) ? Czy skoro liczba \(\displaystyle{ c}\) ma być największą, to \(\displaystyle{ a=27}\) i \(\displaystyle{ b=36}\) ?

Ja bym do tego chińskiego nie mieszał .

Popatrz po prostu na tę formę \(\displaystyle{ c = 28x + 37y}\) i zastanów się, kiedy ta forma jest jednoznaczna. Przypuśćmy, że \(\displaystyle{ x \ge 37}\). Wtedy możemy napisać \(\displaystyle{ c = 28 (x -37) + 37 (y+28)}\), czyli po prostu przenieść iloczyn \(\displaystyle{ 28 \cdot 37}\) do drugiego składnika i otrzymać drugą formę. Czyli przedstawieni jest niejednoznaczne. Podobnie dzieje się w przypadku gdy \(\displaystyle{ y \ge 28}\). Z tego wniosek prosty, \(\displaystyle{ x < 37, y <28}\), ponieważ obie te liczby możemy zwiększać niezależnie oznacza to że największe \(\displaystyle{ c}\) otrzymujemy dla \(\displaystyle{ x = 36,y=27}\).

Dopiero teraz zauważyłem, że trzecie zadanie wygląda nieco inaczej:
3. Rozwiąż w zbiorze liczb naturalnych równanie \(\displaystyle{ 19x^{2} - 84y^{2} = 1984}\).

I tutaj jednak pojawia się problem, tzn. rozpisuję powyższe równanie do postaci: \(\displaystyle{ 19\left( x^2 - 100\right) = 84 \left( y^2 +1\right)}\).

"Na oko" to równanie nie ma rozwiązań w zbiorze liczb naturalnych, ale jak wykazać to algebraicznie? Jeżeli jedna strona równania dzieli się przez pewną liczbę, a druga strona równania się nie dzieli - to by znaczyło, że nasze równanie nie ma rozwiązań, prawda?

Chewbacca97 pisze:Dopiero teraz zauważyłem, że trzecie zadanie wygląda nieco inaczej:
3. Rozwiąż w zbiorze liczb naturalnych równanie \(\displaystyle{ 19x^{2} - 84y^{2} = 1984}\).

I tutaj jednak pojawia się problem, tzn. rozpisuję powyższe równanie do postaci: \(\displaystyle{ 19\left( x^2 - 100\right) = 84 \left( y^2 +1\right)}\).

"Na oko" to równanie nie ma rozwiązań w zbiorze liczb naturalnych, ale jak wykazać to algebraicznie? Jeżeli jedna strona równania dzieli się przez pewną liczbę, a druga strona równania się nie dzieli - to by znaczyło, że nasze równanie nie ma rozwiązań, prawda?

Z tego równania otrzymujesz, że gdyby miało to rozwiązanie to \(\displaystyle{ 19|y^2 + 1}\) czyli -1 byłoby resztą kwadratową mod 19. A nie jest.