Matematyka.pl

ZBADAC ZBIEZNOSC SZEREGU

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } (-1)^{n+1}\int\limits_{n}^{n+1} \frac{1}{ x^{3}+1 }}\)

jakies wskazówki??

chcialam zastosować "zbieznosc bezwzgledna szeregu" , czyli zostaje mi szereg z samej calki. Obliczylam na boku calke oznaczoną i szczerze nie wiem co dalej mam z tym zrobić. Powinnam wykazać, że szereg z obliczonej calki jest zbiezny ale ta calka wyszła dość rozbudowana

Nie polecam badania zbieżności bezwzględnej. Wygląda na to, że możesz zastosować kryterium Leibniza.
Zauważ, że jeśli \(\displaystyle{ a_{n}= \int_{n}^{n+1} \frac{dx}{x^{3}+1}}\), to ciąg \(\displaystyle{ a_{n}}\) jest malejący, gdyż całkowanie odbywa się ciągle po zbiorze tej samej miary, a wartości funkcji podcałkowej są coraz mniejsze, a ponadto z tw. Lagrange'a o wartości średniej dla dowolnie ustalonego \(\displaystyle{ n}\) mamy \(\displaystyle{ \int_{n}^{n+1} \frac{dx}{x^{3}+1}= \frac{1}{\theta(n)^{3}+1}}\) gdzie \(\displaystyle{ \theta(n) \in (n,n+1)}\)

A co jest złego w zbieżności bezwzględnej? Wychodzi

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \int \limits_n^{n+1} \frac{1}{x^3+1} \, \dd x = \int \limits_1^{\infty} \frac{1}{x^3+1} \, \dd x.}\)

Całka po prawej jest zbieżna z kryterium porównawczego, bo

\(\displaystyle{ \frac{1}{x^3+1} \le \frac{1}{x^3}.}\)

Nie lubię jej.