prosze o pomoc w rozwiazaniu tej calki
\(\displaystyle{ \int \frac{\mbox{d}x}{(x-1)\sqrt{-x�+2x+2}}}\)
Poprawiłem zapis. Zapoznaj się z LaTeX-em.
luka52
całeczka
-
luka52
- Użytkownik
- Posty: 8297
- Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 47 razy
- Pomógł: 1814 razy
całeczka
Eee... z całkami masz pierwszy raz do czynienia i od razu taki przykład
No dobra, nie wnikam w szczegóły
Z podstawienia wyliczamy
\(\displaystyle{ dx = - \frac{dt}{t^2}}\)
Co sprowadza całkę do postaci:
\(\displaystyle{ - \int \frac{ \frac{dt}{t^2} }{ \frac{1}{t} \sqrt{ - \frac{(t+1)^2}{t^2} + 2 \frac{t+1}{t} + 2 } } = - \int \frac{ \frac{dt}{t^2} }{ \frac{1}{t} \sqrt{ \frac{3t^2 - 1}{t^2} } } = - \int \frac{dt}{\sqrt{3t^2 - 1}}}\)
Następnie podstawiamy:
\(\displaystyle{ u = \sqrt{3}t, \quad dt = \frac{du}{\sqrt{3}}}\)
\(\displaystyle{ - \frac{1}{\sqrt{3}} \int \frac{du}{\sqrt{u^2 - 1}} = - \frac{1}{\sqrt{3}} \ln \left|\frac{\sqrt{3}}{x-1} + \sqrt{\frac{3}{(x-1)^2}- 1} \right| + C =\\ = - \frac{1}{\sqrt{3}} \ln \left|\frac{\sqrt{3}}{x-1} + \frac{1}{|x-1|} \sqrt{-x^2 + 2x + 2} \right| + C}\)
No dobra, nie wnikam w szczegóły
Z podstawienia wyliczamy
\(\displaystyle{ dx = - \frac{dt}{t^2}}\)
Co sprowadza całkę do postaci:
\(\displaystyle{ - \int \frac{ \frac{dt}{t^2} }{ \frac{1}{t} \sqrt{ - \frac{(t+1)^2}{t^2} + 2 \frac{t+1}{t} + 2 } } = - \int \frac{ \frac{dt}{t^2} }{ \frac{1}{t} \sqrt{ \frac{3t^2 - 1}{t^2} } } = - \int \frac{dt}{\sqrt{3t^2 - 1}}}\)
Następnie podstawiamy:
\(\displaystyle{ u = \sqrt{3}t, \quad dt = \frac{du}{\sqrt{3}}}\)
\(\displaystyle{ - \frac{1}{\sqrt{3}} \int \frac{du}{\sqrt{u^2 - 1}} = - \frac{1}{\sqrt{3}} \ln \left|\frac{\sqrt{3}}{x-1} + \sqrt{\frac{3}{(x-1)^2}- 1} \right| + C =\\ = - \frac{1}{\sqrt{3}} \ln \left|\frac{\sqrt{3}}{x-1} + \frac{1}{|x-1|} \sqrt{-x^2 + 2x + 2} \right| + C}\)
Ostatnio zmieniony 24 cze 2007, o 23:49 przez luka52, łącznie zmieniany 1 raz.
