Punkt symetryczny względem prostej

Obiekty i przekształcenia geometryczne, opisane za pomocą układu (nie zawsze prostokątnego) współrzędnych.
blade
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 809
Rejestracja: 3 cze 2014, o 00:07
Płeć: Mężczyzna

Punkt symetryczny względem prostej

Post autor: blade » 21 cze 2015, o 20:35

Znaleźć punkt symetryczny \(B=(a,b,c)\) do punktu \(A=(3,-1,-7)\) względem prostej
\(l: \begin{cases} x+y\\ y+z \end{cases} \\ n_1 = [1,1,0] ; n_2 = [0,1,1]\\ n_1 \times n_2 = [1,-1,1] = \vec{u}\\ x=-y \\ y=-z \\ x=z\)
np : \((1,-1,1) = P \in l\)

\(l: \begin{cases} x=1+t\\y=-1-t\\z=1+t \end{cases}\)

Wybieram \(A'=(1+s,-1-s,1+s) \in l\)
\(2\vec{AA'} = \vec{AB} = \left[2s-4,-2s,16+2s \right] \\ \vec{AB} \perp \vec{u} \Leftrightarrow \left[2s-4,-2s,16+2s \right] \circ [1,-1,1] = 2s-4 +2s +16 +2s =0\\ 6s =12\\ s=2\\ \vec{AB} = \left[ 0,-4,20\right] = [a-3,b+1,c+7] a-3 = 0 \Rightarrow a=3 \\ b+1 = -4 \Rightarrow b= -5\\ c+7=20 \Rightarrow c=13\\ B=(3,-5,13)\)
Czy mógłby ktoś sprawdzić ? Z góry dzięki

Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7144
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna

Punkt symetryczny względem prostej

Post autor: kerajs » 21 cze 2015, o 20:49

Jest OK.
(pomijając niepełne równanie krawędziowe prostej l )

Sposób alternatywny:
Znając wektor kierunkowy prostej l piszę równanie płaszczyzny do niej prostopadłej i zawierającą punkt A:
\(\pi : \ 1(x-3)+(-1)(y+1)+1(z+7)=0\)
Układ równań \(\pi \wedge l\) daje punkt A', a znając go punkt B dostaniesz ze znanego Ci równania wektorowego :
\(2 \vec{AA ^{'} }= \vec{AB}\)

ODPOWIEDZ