Matematyka.pl

Czy istnieje nieskończony pierścień przemienny \(\displaystyle{ P}\) z jednością oraz niezerowy wielomian \(\displaystyle{ f \in P\left[ x\right]}\) o współczynnikach z pierścienia \(\displaystyle{ P}\), taki że każdy element pierścienia \(\displaystyle{ P}\) jest pierwiastkiem wielomianu \(\displaystyle{ f}\)?

Brzmi dla mnie dość skomplikowanie, ale pierścień jest nieskończony i każdy element ma być pierwiastkiem tego wielomianu a wielomian chyba nie może mieć nieskończenie wielu pierwiastków, zgadza się?

Istnieje. Weź sumę prostą przeliczalnie wielu sztuk \(\displaystyle{ \ZZ_2}\) z punktowym mnożeniem i dodawaniem. Wielomian, którego szukasz, to \(\displaystyle{ x^2-x}\).