Matematyka.pl

Skąd wynika to przejście:
\(\displaystyle{ \phi _ \epsilon (x) = \int \limits_{- \infty}^{+ \infty} \phi (x - \epsilon t) \widetilde{f}(t) dt}\)
gdzie:

\(\displaystyle{ \widetilde{f}(x) = \begin{cases} N \textnormal{e}^{\frac{1}{x^2 -1}}, |x| < 1 \\ 0, |x| \ge 1 \end{cases}}\)

I tu następuje przejście, którego nie rozumiem:

\(\displaystyle{ \phi _ \epsilon (x) - \phi (x) = \int \limits_{- \infty}^{+ \infty} \phi (x - \epsilon t) \widetilde{f}(t) dt - \phi (x) \int \limits_{- \infty}^{+ \infty} \widetilde{f}(t) dt}\)

Za → przejście 12.13
Piszą coś, że to wynikać ma z własności delty Diraca. Ale ja tego nijak nie widzę

Przeczytaj uważnie jeszcze raz.
Pierwsza linijka jest po podstawieniu \(\displaystyle{ y= \epsilon t}\)

\(\displaystyle{ \int_{- \infty}^{\infty} \widetilde{f}(t) dt =1}\) to jest właśnie normalizacja.

Dystrybucja \(\displaystyle{ \widetilde{f}(x)}\) a właściwie funkcja jest jedną z reprezentacji (czy mówiąc nieściśle "przybliżenia") delty Diraca \(\displaystyle{ \delta (x)}\). Chodzi o to żeby miała takie własności jak \(\displaystyle{ \delta (x)}\) czyli była różna od zera w możliwie wąskim przedziale i równa zero poza nim oraz co ważne, żeby normalizowała się do jedynki tzn. pole pod jej wykresem było równe \(\displaystyle{ 1}\)

\(\displaystyle{ \int_{- \infty}^{\infty} \widetilde{f}(t) dt =1}\)