Szereg Taylora - wątpliwości
: 24 cze 2007, o 09:46
Dobry!
Więęęc... mam f-cję \(\displaystyle{ \frac{z}{1-z}}\) rozwinąć w szereg Taylora wokół punktu \(\displaystyle{ z_{0} = -1}\)
Czytam więc sobie przykład... a w przykładzie stoi:
"
\(\displaystyle{ \frac{1}{1-z} = \frac{1}{2-(z+1)} = \frac{1}{2} * \frac{1}{1-(\frac{z+1}{2})}}\)
Więc dla |z+1| < 2
\(\displaystyle{ \frac{1}{1-z} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(z+1)^{n}}{2^{n+1}}}\)
Ponieważ
\(\displaystyle{ \frac{z}{1-z} = \frac{1}{1-z} - 1}\)
zatem
\(\displaystyle{ \frac{z}{1-z} = - \frac{1}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(z+1)^{n}}{2^{n+1}} \qquad \qquad \qquad (|z+1|) a teraz moje wątpliwości...
W pierwszym wyrażeniu chcemy uzyskać postać \(\displaystyle{ z - ( - z_{0})}\) bo wiemy, jak ją rozwinąć (z+1 idzie do licznika i dostaje potęgę n a 2 do mianownika i potęgę n+1)
W trzecim rozbijamy ten ułamek żeby dostać ułamek i znanym rozwinięciu i jeden.
W czwartym (ostatnim) wyrażeniu przekształcamy... i tego właśnie nie rozumiem. Co się stało z 1/2 stojącą przed \(\displaystyle{ \frac{1}{1-(\frac{z+1}{2})}}\)? Wzięła sobie i zniknęła? Nie trzeba mnożyć sumy z wyrażenia 2-giego przez 1/2?
Skąd się wzięła -1/2 w ostatnim wyrażeniu? Widzę, że w 2-giej sumie sumujemy od 1 do niesk. gdy w pierwszej sumowaliśmy od 0 znaczy to, że wyciągnęliśmy pierwszy wyraz przed sumę... tak? A jak obliczyć dowolny wyraz tego szeregu - tzn jaki z podstawić, żeby go obliczyć?}\)
Więęęc... mam f-cję \(\displaystyle{ \frac{z}{1-z}}\) rozwinąć w szereg Taylora wokół punktu \(\displaystyle{ z_{0} = -1}\)
Czytam więc sobie przykład... a w przykładzie stoi:
"
\(\displaystyle{ \frac{1}{1-z} = \frac{1}{2-(z+1)} = \frac{1}{2} * \frac{1}{1-(\frac{z+1}{2})}}\)
Więc dla |z+1| < 2
\(\displaystyle{ \frac{1}{1-z} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(z+1)^{n}}{2^{n+1}}}\)
Ponieważ
\(\displaystyle{ \frac{z}{1-z} = \frac{1}{1-z} - 1}\)
zatem
\(\displaystyle{ \frac{z}{1-z} = - \frac{1}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(z+1)^{n}}{2^{n+1}} \qquad \qquad \qquad (|z+1|) a teraz moje wątpliwości...
W pierwszym wyrażeniu chcemy uzyskać postać \(\displaystyle{ z - ( - z_{0})}\) bo wiemy, jak ją rozwinąć (z+1 idzie do licznika i dostaje potęgę n a 2 do mianownika i potęgę n+1)
W trzecim rozbijamy ten ułamek żeby dostać ułamek i znanym rozwinięciu i jeden.
W czwartym (ostatnim) wyrażeniu przekształcamy... i tego właśnie nie rozumiem. Co się stało z 1/2 stojącą przed \(\displaystyle{ \frac{1}{1-(\frac{z+1}{2})}}\)? Wzięła sobie i zniknęła? Nie trzeba mnożyć sumy z wyrażenia 2-giego przez 1/2?
Skąd się wzięła -1/2 w ostatnim wyrażeniu? Widzę, że w 2-giej sumie sumujemy od 1 do niesk. gdy w pierwszej sumowaliśmy od 0 znaczy to, że wyciągnęliśmy pierwszy wyraz przed sumę... tak? A jak obliczyć dowolny wyraz tego szeregu - tzn jaki z podstawić, żeby go obliczyć?}\)