Matematyka.pl

Czworokąt \(\displaystyle{ ABCD}\) wpisano w okrąg. Punkt przecięcia \(\displaystyle{ AC}\) i \(\displaystyle{ BD}\) oznaczono jako \(\displaystyle{ X}\) i zrzutowano prostokątnie na boki \(\displaystyle{ AB}\), \(\displaystyle{ BC}\), \(\displaystyle{ CD}\) i \(\displaystyle{ DA}\), otrzymując odpowiednio punkty \(\displaystyle{ A'}\), \(\displaystyle{ B'}\), \(\displaystyle{ C'}\), \(\displaystyle{ D'}\). Udowodnij, że: \(\displaystyle{ \frac{A'D'}{AX}= \frac{BD}{2R}}\) i \(\displaystyle{ \frac{A'B'}{BX}= \frac{AC}{2R}}\), gdzie \(\displaystyle{ R}\) to promień okręgu opisanego.
Wiem, że powinno to wynikać z twierdzenia sinusów, ale mimo to nie widzę związku.

wskazówka: punkty \(\displaystyle{ A,A',X,D'}\) leżą na okręgu o średnicy \(\displaystyle{ AX}\)

timon92 pisze:wskazówka: punkty \(\displaystyle{ A,A',X,D'}\) leżą na okręgu o średnicy \(\displaystyle{ AX}\)

To również wiem.
Nie widzę, w jaki sposób sinus tego samego kąta miałby odnosić się do większego okręgu.

przypuszczam, że znasz twierdzenie sinusów, ale w ubogiej wersji: \(\displaystyle{ \frac a{\sin \alpha} = \frac b {\sin \beta} = \frac c{\sin \gamma}}\)

bogatsza wersja twierdzenia sinusów mówi, że \(\displaystyle{ \frac a{\sin \alpha} = \frac b {\sin \beta} = \frac c{\sin \gamma} \color{red} = 2R}\)

Pokażę pierwszą część dowodu, druga przebiega analogicznie.

Okrąg opisany na czworokącie \(\displaystyle{ ABCD}\) jest w szczególności opisany na trójkącie \(\displaystyle{ ABD}\) i oznaczę go przez \(\displaystyle{ R}\).
Z \(\displaystyle{ \triangle ABD}\) mamy bezpośrednio z tw. sinusów: \(\displaystyle{ \frac{BD}{2R} = \sin A}\).

Na czworokącie \(\displaystyle{ AA'XD'}\) można opisać okrąg (bo suma miar kątów przeciwległych wynosi \(\displaystyle{ 180^{\circ}}\) ) Promień oznaczę przez \(\displaystyle{ r}\).
Również z tw. sinusów mamy \(\displaystyle{ \frac{A'D'}{\sin A} = 2r}\) oraz \(\displaystyle{ \frac{AX}{\sin D'} = 2r}\). Oczywiście \(\displaystyle{ \sin D' = 1}\) skąd \(\displaystyle{ \frac{A'D'}{AX} = \sin A}\).