Matematyka.pl

Funkcję \(\displaystyle{ s}\) określoną na przedziale \(\displaystyle{ \left\langle a,b\right\rangle}\) nazywamy funkcją sklejaną stopnia m (\(\displaystyle{ m \ge 1}\)) , jeśli na każdym z podprzedziałów \(\displaystyle{ [x_{i},x_{i+1}]}\) \(\displaystyle{ s}\) jest wielomianem stopnia m, \(\displaystyle{ i=0,1,...,n-1}\) i funkcja \(\displaystyle{ s}\) jest klasy \(\displaystyle{ C^{m-1}(\left\langle a,b\right\rangle)}\). I teraz dowód tego twierdzenia co w temacie.
Na każdym przedziale \(\displaystyle{ [x_{i},x_{i+1}]}\) funkcja jest wielomianem stopnia m i tych wielomianów jest n. Czyli współczynników do wyznaczenia jest \(\displaystyle{ n(m+1)}\). Teraz żądanie ciągłosći pochodnych rzędu \(\displaystyle{ k=0,1,...,m-1}\) w każdym węźle wew. \(\displaystyle{ x_{i},i=1,...,n-1}\), daje nam \(\displaystyle{ m(n-1)}\) równań. Teraz chce skorzystać z tw. Kroneckera-Capellego i obliczyć rząd macierzy tych równań i rząd macierzy rozszerzonej. Rząd powinien wyjść \(\displaystyle{ m(n-1)}\). Czyli układ ma nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od \(\displaystyle{ n(m+1)-m(n-1)=n+m}\)
parametrów. Tylko teraz pytanie, jak mam udowodnić, że rząd tyle wynosi i że te rzędy są sobie równe.

Trzeba tę macierz spokojnie rozpisać i popatrzeć na jej postać. Oznacz \(\displaystyle{ s(x)=a_{i,m}x^m+a_{i,m-1}x^{m-1}+\dots+a_{i,0}}\) dla \(\displaystyle{ x\in(x_i,x_{i+1})}\) i zapisz macierz. Innej możliwości nie widzę. Tam będą pewne charakterystyczne "bloki". Zera z pochodnych itp.

A może zaczniesz od splinów trzeciego stopnia? One są najczęściej używane w praktyce. Pozwoli Ci to na dostrzeżenie jakichś regularności.

Właśnie od tego próbowałem zacząć, zrobiłem obliczenia dla 2 punktów i funkcji sklejanej trzeciego stopnia. Wyszła taka macierz
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccccccccccc}8&4&2&1&-8&-4&-2&-1&0&0&0&0\\12&4&1&0&-12&-4&-1&0&0&0&0&0\\6&1&0&0&-6&-1&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&27&9&3&1&-27&-9&-3&-1\\0&0&0&0&27&6&1&0&-27&-6&-1&0\\0&0&0&0&3&1&0&0&-3&-1&0&0\end{array}\right]}\). Próbowałem ją jakoś sprowadzić do macierzy schodkowej, albo znaleźć jakiś minor stopnia 6 różny od 0, ale nie wiem jak to zrobić.