Granice ciągów

[mohini]

Witam ma problem i proszę o pomoc z tymi granicami

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \frac{2 n^2 + n\sin (n^n)}{1- 5 n^3}}\)


Oraz

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty}\sqrt{e^{-n} + 1}}\)
wiem, że trzeba tutaj z 3 ciagów, ale nie wiem za bardzo jak!
please help...egzamin mam w poniedziałek !!!

Drugi przykład też mogłaś w LaTeX-u zapisać... no i ten 'ech' w temacie jakoś mało adekwatny do treści zadania...
max

[max]

\(\displaystyle{ \frac{2n^{2} - n}{1 - 5n^{3}}\leqslant \frac{2n^{2} + n\sin(n^{n})}{1 - 5n^{3}} \leqslant \frac{2n^{2} + n}{1 - 5n^{3}}}\)
I teraz wystarczy pokazać, że ograniczenia zbiegają do zera, dla przykładu prawe:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to }\frac{2n^{2} + n}{1 - 5n^{3}} = \lim_{n\to }\frac{\frac{2}{n} + \frac{1}{n^{2}}}{\frac{1}{n^{3}} - 5} = 0}\)

Odnośnie drugiego przykładu (nie jestem pewien czy miał on tak wyglądać)
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \sqrt{e^{-n} + 1} = \sqrt{0 + 1} = 1}\)

[mohini]

Dokładnie tak miał wygladać...ale mam pytanko do tego przykładu
Czy mam stosowac tutja granice 3 ciagow bo juz zglupialam... Czy po prostu to zapisales inaczej?
Dzieki Ci bardzo

[max]

Tak, korzystam oczywiście (w pierwszym przykładzie) z twierdzenia o trzech ciągach - dwa ciągi będące ograniczeniami ciągu badanego zbiegają do zera, więc i ów ciąg którym się interesujemy, zbiega do 0.

Drugi przykład z prostych twierdzeń o granicach ciągów - granica sumy jest sumą granic, granica pierwiastka jest pierwiastkiem granicy (oczywiście przy zalożeniach, że odpowiednie granice istnieją, a wspomniane wyrażenia (pierwiastek) mają sens liczbowy).

[setch]

max, \(\displaystyle{ \sqrt{0+1}=1}\)

[max]

No tak, nie umiem dodawać...