Matematyka.pl

W jaki sposób można na szybko wydedukować rozkład poniższego wielomianu na czynniki kwadratowe?

\(\displaystyle{ W(x) = x^4 - 4x^3 + 2x^2 + 4x + 1}\)

Nie ma on pierwiastków całkowitych, stosując standardowe, "brutalne" rozpisanie na:

\(\displaystyle{ W(x) = (Ax^2+Bx+C)(Dx^2+Ex+F)}\)

dochodzimy do rezultatu i okazuje się, że:

\(\displaystyle{ W(x) = (x^2-2x-1)^2}\)

jednak jest to żmudna metoda i mam wrażenie, że musi być w tym przypadku jakiś prostszy sposób z gatunku "zauważmy że". Byłbym bardzo wdzięczny za podanie mi tego sposobu, jeśli ktoś z Was ma pomysł.

Jakimś cudem (sorry, dzięki intuicji matematycznej) zauważamy że:

\(\displaystyle{ W(x) = x^4 - 4x^3 + 2x^2 + 4x + 1=\left( x-1\right)^4-4x^2+8x= \left( x-1\right)^4-4 \left( x-1\right)^2+4 =\\=\left[ \left( x-1\right)^2\right]^2-2 \cdot \left[ \left( x-1\right)^2\right] \cdot 2 +2^2= \left[ \left( x-1\right)^2-2\right]^2=....}\)

co daje Twój wynik :
\(\displaystyle{ ...=\left[ \left( x^2-2x+1\right)-2\right]^2=\left[ x^2-2x-1\right]^2}\)

lub można rozkładać dalej na postać iloczynową:
\(\displaystyle{ ....= \left[ \left( x-1\right)^2-\left( \sqrt{2} \right)^2 \right]^2= \left[ \left( x-1+\sqrt{2}\right) \left( x-1-\sqrt{2} \right)\right]^2}\)

Metoda Ferrariego będzie spoko, poczytaj o niej. Pisałem już o niej m. in. tutaj:
386374.htm#p5336627

chlorofil, czego oczekujesz ?
Ogólnie rzecz biorąc nie uda ci się ominąć równania trzeciego stopnia co może sprawiać kłopoty
rachunkowe .
Metoda zaprezentowana przez AndrzejK, jest najwygodniejsza

Sposób proponowany przez ciebie można by nieco zmodyfikować

\(\displaystyle{ W\left( x\right)=a_{4}x^{4}+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}\\
x=y-\frac{a_{3}}{4a_{4}}\\
W_{1}\left( y\right)=y^4+b_{2}y^2+b_{1}y+b_{0}\\
b_{1}=0\\
W_{1}\left( y\right)=\left( y^2\right)^2+b_{2}\left( y^2\right) +b_{0}\\
b_{1} \neq 0\\
y^4+b_{2}y^2+b_{1}y+b_{0}=\left( y^2-py+q\right)\left( y^2+py+r\right) \\}\)

Chodziło mi o ten konkretny przypadek. Wiem, że nie ma jednego słusznego algorytmu do takiego liczenia "na piechotę", bardziej chodziło mi tu o metodę "zauważmy, że..." i odpowiedzi otrzymałem.

Jeżeli już chcesz być brutalny, to możesz założyć, że \(\displaystyle{ A = D = 1}\) i \(\displaystyle{ F= 1/C}\). Trzy niewiadome zamiast sześciu.

Faktycznie, to oczywiście wychodzi dość szybko podczas rozwiązywania tego układu, ale można to zauważyć od razu.

Ciekawe, że Wolfram potrafi sobie z tym poradzić.

Metoda którą zaproponował chlorofil, jest skuteczna
Co do założeń użytkownika Medea 2,
Początkowe jedynki \(\displaystyle{ A=D=1}\) nie zmniejszą ogólności (można równanie podzielić przez \(\displaystyle{ a_{4} \neq 0}\))
Równość \(\displaystyle{ F=\frac{a_{0}}{C}}\) wymusza aby \(\displaystyle{ C \neq 0}\)
a to nie jest dobrym pomysłem , chyba że założymy że \(\displaystyle{ a_{0} \neq 0}\)
a przypadek gdy \(\displaystyle{ a_{0}=0}\) będziemy rozpatrywać oddzielnie