Matematyka.pl

W przestrzeni wszystkich macierzy \(\displaystyle{ 2 \times 2}\) o elementach rzeczywistych rozwazamy podzbiór, złozony ze
wszystkich macierzy postaci

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}
x+y&x-z\\y+2z&x+3z
\end{bmatrix}}\)

gdzie \(\displaystyle{ x}\), \(\displaystyle{ y}\), \(\displaystyle{ z}\) sa dowolnymi liczbami rzeczywistymi. Sprawdzic, ze podzbiór ten stanowi podprzestrzen rozpatrywanej przestrzeni i podac przykład bazy tej podprzestrzeni.

Na wyklady nie chodzilem, bo algebra malo mnie interesuje wiec nie wiem jakie warunki musze sprawdzic. To jest jedno z czestych zadan na egzaminie wiec musze je ogarnac. Prosze o wskazowki.

To się najpierw dowiedz czym jest przestrzeń i podprzestrzeń liniowa.

Mając podprzestrzeń \(\displaystyle{ V}\) wszystkich macierzy o których napisałeś na początku swojego postu, aby sprawdzić czy jakiś zbiór \(\displaystyle{ X}\) jest podprzestrzenią, należy sprawdzić pewne warunki.

1) Czy element neutralny przestrzeni \(\displaystyle{ V}\) należy do \(\displaystyle{ X}\)? W tym przypadku elementem neutralnym będzie macierz identycznościowa wymiaru 2x2.

2) Czy dla dowolnych dwóch macierzy \(\displaystyle{ A,B \in X}\), zachodzi \(\displaystyle{ A+B \in X}\)?

3) Czy dla każdej liczby \(\displaystyle{ \lambda \in \RR}\) oraz dowolnej macierzy \(\displaystyle{ A \in X}\) zachodzi \(\displaystyle{ \lambda A \in X}\)?

a jak mam to sprawdzic w praktyce na tym konkretnym zdaniu?

Na jakim zdaniu? Podrzędnie złożonym przydawkowym? :>

Wskazówka: każdą macierz z tego podzbioru można zapisać w postaci \(\displaystyle{ x\begin{bmatrix} 1&1\\0&1 \end{bmatrix}+y\begin{bmatrix} 1&0\\1&0 \end{bmatrix}+z\begin{bmatrix} 0&-1\\2&3 \end{bmatrix}}\) dla pewnych \(\displaystyle{ x,y,z}\) rzeczywistych - wynika to wprost z tego, jak określamy mnożenie macierzy przez skalar.
Żeby sprawdzić, że jest podprzestrzenią, masz pokazać, że suma macierzy należących do tego zbioru też doń należy i że gdy pomnożymy dowolny element tego podzbioru przez skalar rzeczywisty, to znowuż uzyskamy element tego podzbioru.
Co do bazy, chyba widać ją z tego, co wyżej napisałem - dla ścisłości trzeba by sprawdzić, że
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&1\\0&1 \end{bmatrix}}\), \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&0\\1&0 \end{bmatrix}}\),\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 0&-1\\2&3\end{bmatrix}}\) są liniowo niezależne w przestrzeni macierzy \(\displaystyle{ 2 \times 2}\) o elementach rzeczywistych, tj. nie istnieją takie niezerowe skalary (tutaj oczywiście rzeczywiste) \(\displaystyle{ \alpha, \beta, \gamma}\)
że \(\displaystyle{ \alpha\begin{bmatrix} 1&1\\0&1 \end{bmatrix}+\beta\begin{bmatrix} 1&0\\1&0 \end{bmatrix}+\gamma\begin{bmatrix} 0&-1\\2&3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0&0\\0&0\end{bmatrix}}\)