Matematyka.pl

Określ obszary zbieżności dla:
\(\displaystyle{ \sum_{1}^{ \infty } \frac{(1+i) ^{n} }{n4 ^{n} } z ^{n}}\)

Jak określić obszar zbieżności takiego szeregu ?

Np. z użyciem tw. Cauchy'ego-Hadamarda.
Ten szereg jest zbieżny wewnątrz koła \(\displaystyle{ K(0,r)}\), gdzie \(\displaystyle{ r= \frac{1}{ \limsup_{n \to \infty } \sqrt[n]{\left| \frac{(1+i) ^{n} }{n4 ^{n} } \right| } }}\)

-- 14 cze 2015, o 20:11 --

tutaj granicę górną można zastąpić zwykłą granicą, bo takowa istnieje.

Rozumiem czyli wystarczyło zwykłe twierdzenie Cauchy'ego, zaś co zrobić z tym przykładem, gdzie \(\displaystyle{ a _{n}}\) przyjmuje różne wartości.
\(\displaystyle{ \sum_{n=- \infty }^{ \infty } a _{n}z ^{n} , a _{n} = (3 ^{n}}\) dla \(\displaystyle{ n \ge 0}\) , \(\displaystyle{ 2 ^{n}}\) dla \(\displaystyle{ n < 0)}\)
Coś z szeregiem Laurenta ?

Może jestem z deczka wypluty, ale tak mi się widzi, że on dla żadnych \(\displaystyle{ z}\) nie jest zbieżny. A gdyby tak to zapisać jako \(\displaystyle{ \sum_{n<0}^{}a_{n}z^{n}+ \sum_{n>0}^{}a_{n}z^{n}}\)
i stwierdzić, że jeśli \(\displaystyle{ g(z)= \sum_{n<0}^{}a_{n}z^{n}}\) oraz \(\displaystyle{ f(z)= \sum_{n>0}^{}a_{n}z^{n}}\) , to \(\displaystyle{ g\left( \frac{1}{z} \right)}\) ma promień zbieżności \(\displaystyle{ 2}\), więc \(\displaystyle{ g(z)}\) jest zbieżny dla \(\displaystyle{ \left| z\right|> \frac{1}{2}}\) i rozbieżny dla \(\displaystyle{ \left| z\right|< \frac{1}{2}}\)
zaś \(\displaystyle{ f(z)}\) ma promień zbieżności \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\), czyli skoro obszary zbieżności mają pusty przekrój, a co więcej istnieją zbiory domknięte zawarte w \(\displaystyle{ \CC}\) o pustym przekroju oraz takie, że obszar zbieżności "dodatniej części" siedzi w jednym (w takim domkniętym kółku na płaszczyźnie zespolonej), a obszar zbieżności "ujemnej części" (tj. z ujemnymi indeksami) w drugim (tj. płaszczyźnie bez kółka o większym promieniu), to ten cały szereg jest rozbieżny dla każdego \(\displaystyle{ z}\)?
Ma to sens?