Matematyka.pl

Mam zadanie z ciągłością
Najpierw, żeby się upewnić, że dobrze to rozumiem - 2 łatwiejsze przykłady :
\(\displaystyle{ 1) f(x,y) = \begin{cases} (ax+b)\frac{\sin y}{y}; y\neq 0 \\ x; y=0\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \lim_{(x,y) \to (k,0)} (ax +b)\frac{\sin y}{y} = ak + b \\
f(k,0) = k \\
k\in \RR}\)
\(\displaystyle{ ak+b=k \Leftrightarrow a=1 \wedge b =0}\)
Tak ?
\(\displaystyle{ 2) f(x,y) = \begin{cases} \frac{b\sin axy}{xy} ; xy\neq 0 \\ a ; y=0 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \lim_{(x,y)\to(k,0)} \frac{b\sin axy}{xy} = \lim_{(x,y)\to(k,0)} \frac{ab\sin axy}{axy} =^{axy\to 0}ab}\)
\(\displaystyle{ k\in \RR}\)
\(\displaystyle{ f(k,0) = a}\)
\(\displaystyle{ ab=a \Leftrightarrow a\in \RR \wedge b=1}\)
Zgadza się ?

Teraz przykład, z którym mam problem :
\(\displaystyle{ f(x,y) \begin{cases} \frac{xy(x+ay)}{x-y}; x\neq y \\ x^2; x=y \end{cases}}\)
Mam szukać granicy przy \(\displaystyle{ (x,y) \to (y,y)}\) ?

blade pisze:
Mam szukać granicy przy \(\displaystyle{ (x,y) \to (y,y)}\) ?

A próbowałeś?

Podstawiam \(\displaystyle{ x=y}\), i dostaje \(\displaystyle{ 0}\) w mianowniku, nie wiem jak ominąć
A poprzednie dobrze zrobiłem ?

Pierwsze zadanie.
Czy to aby na pewno jest prawda, że \(\displaystyle{ ak+b=k \Rightarrow a=1 \wedge b =0}\)?
Weźmy \(\displaystyle{ a=0}\) i \(\displaystyle{ b=k}\), wtedy ta implikacja jest nieprawdziwa. Zatem w pierwszym zadaniu jest więcej niż to szczególne rozwiązanie.

Tak też myślałem, żeby rozważyć jeszcze \(\displaystyle{ x=0}\), wtedy \(\displaystyle{ a\in \RR \wedge b=0}\) teraz byłoby dobrze? + jeszcze to Twoje rozwiązanie wyżej

Zauważ, że równość \(\displaystyle{ ak+b=k}\) jest funkcją \(\displaystyle{ a}\) lub \(\displaystyle{ b}\). Zatem klasą rozwiązań jest podzbiór płaszczyzny. Ten podzbiór jest dość "prosty".

czyli, że \(\displaystyle{ b= k(a-1)}\),
\(\displaystyle{ a=\frac{k-b}{k}}\)
czy jak?