Matematyka.pl

Majać macierz
\(\displaystyle{ A=\left[\begin{array}{ccc}2&1\\1&2\end{array}\right]}\)
Musze znalezc \(\displaystyle{ C,D}\) gdzie \(\displaystyle{ C}\)jest macierzą nieosobliwą a \(\displaystyle{ D}\) diagonalną , spełniającą równość \(\displaystyle{ D=C ^{-1}AC}\) nastepnie policzyc wartośc potęgi \(\displaystyle{ A ^{16}}\)
Oblicze wartości własne:
\(\displaystyle{ A-\Lambda \cdot I=0}\)

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}2&1\\1&2\end{array}\right]-\left[\begin{array}{ccc}\Lambda&0\\0&\Lambda\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}2-\Lambda&1\\1&2-\Lambda\end{array}\right]}\)
\(\displaystyle{ (2-\Lambda-1)(2-\Lambda+1)=0}\)
\(\displaystyle{ (1-\Lambda)(3-\Lambda)=0}\)
\(\displaystyle{ \Lambda_{1}=1}\)
\(\displaystyle{ \Lambda_{2}=3}\)
Teraz wektory:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}2-1&1\\1&2-1\end{array}\right]}\)
\(\displaystyle{ A_{\Lambda}X=0}\)
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&1\\1&1\end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{ccc}x\\y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}0\\0\end{array}\right]}\)

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&1&0\\1&1&0\end{array}\right]}\)
Z tego wychodzi ze:
\(\displaystyle{ y= \alpha}\)
\(\displaystyle{ x+\alpha=0}\)
\(\displaystyle{ x=-\alpha}\)

wektory:\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}-\alpha\\ \alpha\end{array}\right]}\)

Dla\(\displaystyle{ \Lambda_{2}=3}\)
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}-1&1\\1&-1\end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{ccc}x\\y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}0\\0\end{array}\right]}\)

wektory: \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1\\1\end{array}\right]}\)

Czyli wspolrzedne wektorow wlasnych to ;
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} -1&1\\1&1\end{bmatrix}}\)
Rozumiem ze obliczylem macierz diagonalna? Jesli nie to jak wyglada dalej algorytm?

Chwila chwila. Jak wyznaczasz wartości własne macierzy \(\displaystyle{ A}\)?

Wartości własne są ok. Zastosowano wzór na różnicę kwadratów.

Przepraszam, musiało mi coś umknąć.

Natomiast macierz policzona to macierz przejścia \(\displaystyle{ C}\) ,a macierz diagonalna \(\displaystyle{ A=\left[\begin{array}{ccc}1&0\\0&3\end{array}\right]}\)

Warto pamiętać że macierz jest diagonalizowalna ,gdy po pierwsze wielomian charakterystyczny rozkłada się na czynniki liniowe ,a po drugie wymiar przestrzeni własnej odpowiadający danemu wektorowi musi być równy krotności pierwiastka.

Jeżeli chce przedstawic \(\displaystyle{ A=CDC^{-1}}\)

\(\displaystyle{ A=\left[\begin{array}{ccc}-1&1\\1&1\end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{ccc}1&0\\0&3\end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{ccc}1&-1\\-1&-1\end{array}\right] \cdot - \frac{1}{2}}\)
Dobrze?