Matematyka.pl

Zbadać czy macierz jest diagonalizowalna nad \(\displaystyle{ R}\)

\(\displaystyle{ A:=\left[\begin{array}{ccc}2&0\\1&-1\end{array}\right]}\)

Chcę dostać rozkład:
\(\displaystyle{ A=CDC^{-1}}\)

Sprawdzi mnie ktoś czy dobrze liczę? Bo wychodzi mi macierz C, która jest nieodwracalna tzn wyznacznik = 0

\(\displaystyle{ C:=\left[\begin{array}{ccc}3&0\\1&0\end{array}\right]}\)

Ale czym jest D?Jezeli policzyles D to C nie ma wyjscia musi byc odwracalna bo jest to macierz przejscia.
Sprawdz jakie A ma wartosci wlasne.Jezeli sa 2 rozne to jest diagonalizowalna.Jezeli jest jedna, a podprzestrzen tych wektorow wlasnych ma wymiar 2 to A takze jest diagonalizowalna.

Z tego co widać, to wielomian własny ma postać \(\displaystyle{ -\left( 2- \lambda \right)\left( 1 + \lambda \right)}\) , co oznacza, że macierz D będzie postaci \(\displaystyle{ D=\left[\begin{array}{ccc}2&0\\0&-1\end{array}\right]}\), stąd Ci wychodzą dwa wektory własne:

Gdy \(\displaystyle{ \lambda=2}\)
\(\displaystyle{ v_1=\left[\begin{array}{ccc}1\\3\end{array}\right]}\)

a gdy \(\displaystyle{ \lambda=-1}\)
\(\displaystyle{ v_2=\left[\begin{array}{ccc}0\\1\end{array}\right]}\)

Stąd macierz \(\displaystyle{ C=\left[\begin{array}{ccc}1&0\\3&1\end{array}\right]}\), gdzie wyznacznik jest różny od zera.