obliczyć objętość bryły ograniczonej

[tomek_m]

obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami:

\(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}=2x}\) oraz \(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}=z}\)

Myślę, że trzeba by tu użyć całki podwójnej i zamiany na współrzędne biegunowe, lecz obszar w którym jest ta figura mi nie pasuje i przez to wyliczyć nie umiem.

[luka52]

Wydaje mi się, że już takie zadanie było (i to niedawno) na forum. No ale trudno...
\(\displaystyle{ V = \int\limits_0^2 \, \int\limits_{- \sqrt{2x - x^2} }^{ \sqrt{2x - x^2} } \, \mbox{d}y \int\limits_0^{x^2 + y^2} \, \mbox{d}z = \int\limits_0^2 \, \int\limits_{- \sqrt{2x - x^2} }^{ \sqrt{2x - x^2} } \left( x^2 + y^2 \right) \, \mbox{d}y}\)
Po przejściu na współrzędne biegunowe:
\(\displaystyle{ V = \int\limits_{0}^{\pi} \, \mbox{d}\theta \int \limits_0^{2 \cos \theta} \rho^3 \, \mbox{d}\rho = \frac{3}{2}\pi}\)

[tomek_m]

dzieki. tylko jeszcze nie wiem skąd takie granice dla współrzędnych biegunowych i jak na nie przechodzisz?

jeszcze zrobiem mały błąd w przepisywaniu tego zadanka powinno być:

\(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}=2x}\) oraz \(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}=z^{2}}\)
czy dużo to zmienia?

[luka52]

Zmienia, ale w sumie nie wiele.
Możemy od razu napisać wzór na objętość we współrzędnych walcowych:
\(\displaystyle{ V = \int\limits_0^{\pi} \, \mbox{d}\theta \int\limits_{0}^{2 \cos \theta} \rho \, \mbox{d}\rho \int\limits_0^{\sqrt{\rho^2}} \, \mbox{d}z = \frac{32}{9}}\)

Skąd się wzięło to 2cosθ w granicach całkowania?
Mamy równanie koła: \(\displaystyle{ x^2 + y^2 \leq 2x \Rightarrow \rho^2 \leq \rho\cdot 2 \cos \theta \Rightarrow \rho \leq 2 \cos \theta}\)
Następnie należy wyznaczyć granice w jakich zmienia się kąt.

[tomek_m]

lecz jest jeden problem...

\(\displaystyle{ V = \int\limits_0^{\pi} \, \mbox{d}\theta \int\limits_{0}^{2 \cos \theta} \rho \, \mbox{d}\rho \int\limits_0^{\sqrt{\rho^2}} \, \mbox{d}z = \int\limits_0^{\pi} \, \mbox{d}\theta \int\limits_{0}^{2 \cos \theta} \rho^{2} \, \mbox{d}\rho=\int\limits_0^{\pi} \, {\frac{1}{3} * \ 8 \cos^{3} \theta} \ \mbox{d}\theta=0}\)

[luka52]

\(\displaystyle{ \sqrt{\rho^2} = | \rho |}\)

[nicniewiem]

A dlaczego jest \(\displaystyle{ \int\limits_{0}^{\pi}}\) a nie \(\displaystyle{ \int\limits_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}}\) w \(\displaystyle{ d\theta}\) ?

[luka52]

Nie ma to absolutnie żadnego znaczenia - czy będzie tak, czy tak.
Osobiścię wolę "zaczynać" od zera

[nicniewiem]

to jaka jest wkoncu poprawna odpowiedz. \(\displaystyle{ \frac{32}{9}}\) czy zero ?

[tomek_m]

\(\displaystyle{ \sqrt{\rho^2} = | \rho |}\)

tak wstawiłem

[luka52]

nicniewiem, 0 na pewno nie wyjdzie - wystarczy sobie tą bryłę naszkicować.

\(\displaystyle{ \int\limits_0^{2 \cos \theta} \rho |\rho| \, \mbox{d}\rho = \frac{8}{3} |\cos \theta| \cos^2 \theta}\)
\(\displaystyle{ \int\limits_0^{\pi} \frac{8}{3} |\cos \theta| \cos^2 \theta \, \mbox{d}\theta = \frac{32}{9}}\)