Matematyka.pl

Stosując metodę funkcji tworzącej wyznaczyć postać jawną dla poniższego ciągu:
\(\displaystyle{ (1,3,1,5,1,7,1,9,\ldots)}\).
Pierwszy element ciągu jest dla \(\displaystyle{ n=0}\), drugi dla \(\displaystyle{ n=1}\) itd.

Pomożecie?

\(\displaystyle{ \begin{cases} a_{0}=1\\a_{1}=3\\a_{n}=a_{n-2}+2 \left( n \pmod 2\right) \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ A\left( x\right)= \sum_{n=0}^{ \infty }{a_{n}x^{n}}\\
\sum_{n=2}^{ \infty }a_{n}x^{n}= \sum_{n=2}^{ \infty }{a_{n-2}x^{n}}+ \sum_{n=2}^{ \infty }{2x^{2n-1}}\\
\sum_{n=0}^{ \infty }a_{n}x^{n}-3x-1= x^2\sum_{n=2}^{ \infty }{a_{n-2}x^{n-2}}+ \frac{2x^3}{1-x^2}\\
\sum_{n=0}^{ \infty }a_{n}x^{n}-3x-1= x^2\sum_{n=0}^{ \infty }{a_{n}x^{n}}+ \frac{2x^3}{1-x^2}\\
A\left( x\right)-3x-1= x^2A\left( x\right)+ \frac{2x^3}{1-x^2}\\
A\left( x\right)\left( 1-x^2\right)=\frac{2x^3+\left( 3x+1\right)\left( 1-x^2\right) }{1-x^2}\\
A\left( x\right)=\frac{-x^3-x^2+3x+1}{\left( 1-x^2\right)^2 } \\}\)

Chyba raczej tak
\(\displaystyle{ a_{n}=\begin{cases} 1, \quad 2 | n \\ n+2, \quad 2 \nmid n \end{cases}}\)

Gdybyś przeczytał treść dokładniej to zauważyłbyś że ciąg numerowany jest od zera

Mając funkcję tworzącą łatwo otrzymać wzór jawny rozkładając ją na sumę tak aby łatwo było skorzystać z szeregu geometrycznego i jego pochodnych bądź z dwumianu Newtona

\(\displaystyle{ A\left( x\right)=\frac{-x^3-x^2+3x+1}{\left( 1-x^2\right)^2 }\\
\frac{-x^3-x^2+3x+1}{\left( 1-x^2\right)^2 }=\frac{A}{1-x}+\frac{B}{\left( 1-x\right)^2 }+\frac{C}{1+x}+ \frac{D}{\left( 1+x\right)^2 } \\
A\left( 1-x\right)\left( 1+x\right)^2+B\left( 1+x\right)^2+C\left( 1+x\right)\left( 1-x\right)^2+D\left( 1-x\right)^2=-x^3-x^2+3x+1\\
A\left( 1-x\right)\left( 1+2x+x^2\right)+B\left( 1+2x+x^2\right)+C\left( 1+x\right)\left( 1-2x+x^2\right)+D\left( 1-2x+x^2\right)=-x^3-x^2+3x+1\\
A\left( 1+x-x^2-x^3\right)+B\left( 1+2x+x^2\right)+C\left( 1-x-x^2+x^3\right)+D\left( 1-2x+x^2\right)=-x^3-x^2+3x+1\\
\begin{cases} A+B+C+D=1 \\ A+2B-C-2D=3\\-A+B-C+D=-1\\-A+C=-1 \end{cases}\\
\begin{cases} A+B+C+D=1 \\ A+2B-C-2D=3\\D=-B\\-A+C=-1 \end{cases}\\
\begin{cases} A+C=1 \\ A+4B-C=3\\A-C=1\\D=-B \end{cases}\\
\begin{cases} A+C=1 \\ 4B+1=3\\2A=2\\D=-B \end{cases}\\
\begin{cases} C=0 \\ 2B=1\\A=1\\D=-B \end{cases}\\
\begin{cases} C=0 \\ B=\frac{1}{2}\\A=1\\D=-\frac{1}{2} \end{cases}\\}\)

\(\displaystyle{ A\left( x\right)= \frac{1}{1-x}+\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\left( 1-x\right)^2 }- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\left( 1+x\right)^2 }}\)


Pochodna szeregu geometrycznego

\(\displaystyle{ \frac{\mbox{d}^k}{\mbox{d}x^k}\left(\frac{1}{1-qx}\right)=\frac{q^k\cdot k!}{\left(1-qx\right)^{k+1}}\\
\frac{\mbox{d}^k}{\mbox{d}x^k}\left(\sum_{n=0}^{\infty}{q^nx^n}\right)=q^{k}\sum_{n=0}^{\infty}{\prod_{i=1}^{k}{\left(n+i\right)}q^nx^n}\\
\frac{k!}{\left(1-qx\right)^{k+1}}=\sum_{n=0}^{\infty}{\prod_{i=1}^{k}{\left(n+i\right)}q^nx^n}}\)



\(\displaystyle{ A\left( x\right)= \sum_{n=0}^{ \infty }{x^{n}} +\frac{1}{2} \cdot \left( \sum_{n=0}^{ \infty }{\left( n+1\right)x^{n} } \right) - \frac{1}{2} \cdot \left( \sum_{n=0}^{ \infty }{\left( n+1\right)\left( -1\right)^{n} x^{n} } \right) \\
a_{n}= 1+ \frac{1}{2}\left( n+1\right)- \frac{1}{2} \left( n+1\right) \cdot \left( -1\right)^n\\
a_{n}= \frac{1}{2}\left( n+3\right)-\frac{1}{2} \cdot\left( n+1\right) \left( -1\right)^n\\}\)

Wielkie dzięki

Można oszczędzić sobie rachunków dzięki kilku spostrzeżeniom. Po pierwsze, funkcją tworząca dla ciągu \(\displaystyle{ (1,0,1,0,\dots)}\) jest \(\displaystyle{ \textstyle \frac{1}{1-z^2}}\). Po drugie, dla ciągu \(\displaystyle{ (1,2,3,\dots)}\) tworząca to \(\displaystyle{ \textstyle \frac 1 {(1-z)^2}}\). Po trzecie, parzyste składniki można "wyciąć" pisząc \(\displaystyle{ \frac{G(z) + G(-z)}{2}}\) (nieparzyste z minusem).

Na początku pomyślałem o wzorku który podał bakala12,
ale zdecydowałem że funkcję tworzącą łatwiej będzie otrzymać ze wzorku rekurencyjnego