Matematyka.pl

Witam, mam problem z zadaniem dotyczącym zbieżności punktowej i jednostajnej ciągu. Oto ono:

\(\displaystyle{ f _{n} (x)= \frac{ x^{n} }{1+ x^{n} }}\) , na przedziałach \(\displaystyle{ I_{1}=<0, \frac{1}{2}>, I _{2}=< \frac{1}{2},1> , I _{3}=<1,2>, I _{4}=<2, + \infty )}\)

Bardzo proszę o pomoc

Najpierw policz zbieżność punktową, uwzględniając różne przypadki (zawężając dziedzinę do \(\displaystyle{ left[ 0, infty
ight)}\), rozpatrz przedziały: \(\displaystyle{ left[ 0, 1
ight)}\), \(\displaystyle{ \left\{ 1\right\}}\) oraz \(\displaystyle{ \left( 1, \infty \right)}\). W przypadku granicy nieskończonej, zbieżności nie ma (z braku zbieżności punktowej wynika brak zbieżności jednostajnej).

W przypadku zbieżności jednostajnej musisz policzyć \(\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow \infty } \sup_{x \in I} \left| f_{n}(x) - f(x) \right|}\), gdzie \(\displaystyle{ I}\) jest przedziałem w którym liczymy zbieżność (ta granica musi wynosić \(\displaystyle{ 0}\)). Pomocne będzie przedstawienie funkcji w postaci:
\(\displaystyle{ f _{n} (x)= \frac{ x^{n} }{1+ x^{n} } = 1 - \frac{1}{1+ x^{n} }}\). Z przedziału monotoniczności (albo "na oko") można wyznaczyć, dla jakiego x mamy największą wartość, a następnie policzyć z tejże wartości granicę przy \(\displaystyle{ n \rightarrow \infty}\). Mam nadzieję, że pomogłem.