Matematyka.pl

(a) Na wykresie funkcji \(\displaystyle{ z=\arctan\frac{x}{y}}\) wskazać punkty, w których płaszczyzna styczna jest równoległa do płaszczyzny \(\displaystyle{ x+y-z=5}\)
(b) Wyznaczyć równanie płaszczyzny stycznej do wykresu funkcji \(\displaystyle{ z=x^2+y^2}\), która jest prostopadła do prostej \(\displaystyle{ x=t, y=t, z=2t, t \in R}\)
Nie mam pojęcia kompletnie jak się za to zabrać.

a) Wektory normalne płaszczyzny stycznej i danej muszą być równoległe.
Wyraża się to wzorem
\(\displaystyle{ grad(F)= \alpha \vec{n}}\), gdzie \(\displaystyle{ \ F(x,y,z)=\arctg \frac{x}{y}-z}\)
\(\displaystyle{ \left[ \frac{1}{1+( \frac{x}{y} )^2} \cdot \frac{1}{y} \ , \ \frac{1}{1+( \frac{x}{y} )^2} \cdot \frac{-x}{y^2} \ , \ -1 \ \right] =\left[ \alpha \ , \ \alpha \ , \ - \alpha \right]}\)
wyraź zmienne x,y,z jako funkcje alfy i wstaw do równania powierzchni. Wyliczysz wtedy alfę, a potem z,y,z czyli współrzędne punktu styczności.

b) Prostopadłość do prostej oznacza że wektor normalny płaszczyzny stycznej i wektor kierunkowy prostej muszą być równoległe.
\(\displaystyle{ grad(F)= \alpha \cdot \left[ 1,1,2\right]}\), gdzie \(\displaystyle{ \ F(x,y,z)=x^2+y^2-z}\)
Dalej postępujesz jak w a)


Ps. Wpisując w forumową wyszukiwarkę słowo ,,gradient' znajdziesz więcej takich zadań.