Matematyka.pl

Udowodnić, że dowolne odwzorowanie liniowe przestrzeni \(\displaystyle{ R^n}\) w \(\displaystyle{ R^k}\) jest przy każnej z metryk \(\displaystyle{ d_m , d_+ , d_E ,}\) odwzorowaniem lipschitzowskim-- 10 cze 2015, o 19:49 --pomoże ktoś ? błagam

Najpierw trzeba wiedzieć, że jeżeli \(\displaystyle{ F}\) jest liniowe o dziedzinie i przeciwdziedzinie jakie są w zadaniu, to \(\displaystyle{ F((x_1,...,x_n))=(\sum_{i=1}^n a_{1i}x_i,...,\sum_{i=1}^n a_{ki}x_i)}\).
Następnie, trzeba by zauważyć, że z dowolnej macierzy przekształcenia liniowego (o dziedzinie i przeciwdziedzinie o skończonym wymiarze) jesteśmy w stanie wybrać współczynnik największy co do wartości bezwględnej. Powiedzmy niech \(\displaystyle{ c=\max{|a_{ij}|}}\).
Teraz wystarczy oszacować iloraz odpowiednio z góry, weźmy np. metrykę euklidesową i mamy:
\(\displaystyle{ \frac{d(F(x),F(y))}{d(x,y)}=\frac{\sqrt{\sum_{j=1}^k(\sum_{i=1}^n a_{ji}x_i-\sum_{i=1}^n a_{ji}y_i)^2}}{\sqrt{\sum_{i=1}^n (x_i - y_i)^2}}=\frac{\sqrt{\sum_{j=1}^k(\sum_{i=1}^n a_{ji}(x_i-y_i))^2}}{\sqrt{\sum_{i=1}^n (x_i - y_i)^2}}\leq}\)

\(\displaystyle{ \leq\frac{\sqrt{\sum_{j=1}^k\sum_{i=1}^n( a_{ji})^2\sum_{i=1}^n(x_i-y_i)^2}}{\sqrt{\sum_{i=1}^n (x_i - y_i)^2}}\leq\frac{\sqrt{\sum_{j=1}^k\sum_{i=1}^n c^2 \sum_{i=1}^n(x_i-y_i)^2}}{\sqrt{\sum_{i=1}^n (x_i - y_i)^2}}=\frac{\sqrt{k\cdot n\cdot c^2 \sum_{i=1}^n(x_i-y_i)^2}}{\sqrt{\sum_{i=1}^n (x_i - y_i)^2}}=}\)

\(\displaystyle{ =\frac{c\sqrt{kn}\sqrt{\sum_{i=1}^n (x_i-y_i)^2}}{\sqrt{\sum_{i=1}^n (x_i - y_i)^2}}=c\sqrt{kn}}\)

Pierwsza nierówność wynika z nierówności Schwarza.
Dwie pozostałe robi się analogicznie.

Nie wiem jak mam dziękować !

Teraz pytanie czy wskażesz gdzie popełniłem karygodny błąd, którego się strasznie wstydzę...

chodzi o metrykę euklidesowa ?
\(\displaystyle{ y_j}\) ?

Kwadrat sumy nie jest zawsze mniejszy równy od sumy kwadratów, co poczyniłem w pierwszej nierówności :/ Trzeba inaczej to oszacować, właśnie nad tym myślę.

-- 11 cze 2015, o 00:07 --

Wiem. Trzeba skorzystać w tamtym momencie z nierówności Schwarza. Już edytuję. Jednocześnie przepraszam Cie za pomyłkę. Teraz wszystko powinno być dobrze.

A czemu nie można po prostu tak:
\(\displaystyle{ d_E (Ax, Ay) = \|Ax - Ay \| = \| A(x-y) \| \leq \| A \| \|x-y\| = \|A \| d_E (x,y),}\)
norma pochodzi od metryki euklidesowej. Pozostałe metryki są jej równoważne.

Dlatego, że skorzystałeś z normy zdefiniowanej jako

\(\displaystyle{ \| A \| = \sup \{ \| Ax \| : \| x \| = 1 \}}\)

a w tym zadaniu nie wiemy, że zbiór po prawej stronie jest ograniczony z góry. Trzeba to dopiero udowodnić.

Dasio11 pisze:Dlatego, że skorzystałeś z normy zdefiniowanej jako

\(\displaystyle{ \| A \| = \sup \{ \| Ax \| : \| x \| = 1 \}}\)

a w tym zadaniu nie wiemy, że zbiór po prawej stronie jest ograniczony z góry. Trzeba to dopiero udowodnić.

No dobra; zbyt dużo rzeczy jest już dla mnie oczywistych Przepraszam, jasne, formalnie, trzeba to przeliczyć.