Matematyka.pl

wyznaczyć 2 ostatnie cyfry liczby \(\displaystyle{ 51 ^{1000}-99 ^{77}}\)

\(\displaystyle{ 51\equiv 51\pmod{100}}\)/ \(\displaystyle{ ^{2}}\)
\(\displaystyle{ 51 ^{2} \equiv 2601\pmod{100}}\)
\(\displaystyle{ 51 ^{2} \equiv 1\pmod{100}}\)
\(\displaystyle{ 51 ^{1000} \equiv 1 ^{1000} \pmod{100}}\)
\(\displaystyle{ 51 ^{1000} \equiv 1\pmod{100}}\)

\(\displaystyle{ 99 \equiv -1\pmod{100}}\)/\(\displaystyle{ ^{77}}\)
\(\displaystyle{ 99 ^{77} \equiv -1 ^{77} \pmod{100}}\)
\(\displaystyle{ 99 ^{77} \equiv -1\pmod{100}}\)
Dobrze to jest policzone?

zdaje się, że jest ok..
oprócz zapisu \(\displaystyle{ 51 ^{2} \equiv 2601\pmod{100}}\)

powinno raczej być \(\displaystyle{ 51^2=2601 \equiv 1 \pmod{100}}\)

Czyli dwie ostatnie cyfry to \(\displaystyle{ 02}\)?

Innaczej:
\(\displaystyle{ 51 ^{1000}-99 ^{77}=\left( 50+1\right)^{1000} \ \ -\ \ \left( 100-1\right) ^{77}=\\=\left[ ....+ {1000 \choose 999} \cdot 50 \cdot 1^{999}+1 \right] \ \ -\ \ \left[ ......+(-1)^{76} {77 \choose 76} \cdot 100 \cdot 1^{76} +(-1)^{77} \cdot 1^{77} \right] =\\=\left[ 1000K+1\right] -\left[100L-1\right]=100M+2}\)