Wielomian czwartego stopnia z parametrem

Własności wielomianów; pierwiastki, współczynniki. Dzielenie wielomianów. Wzory Viete'a. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI wielomianowe (wyższych stopni). Rozkład na czynniki.
Awatar użytkownika
Comma
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 647
Rejestracja: 22 lis 2004, o 19:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: B-j
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 77 razy

Wielomian czwartego stopnia z parametrem

Post autor: Comma » 7 lut 2005, o 18:42

Dla jakiej wartości parametru m wielomian \(\displaystyle{ P \left( x \right) = x^4 + mx^3 - \left( m+1 \right) x^2 - m^2x + m}\) ma 4 pierwiastki, których suma jest równa \(\displaystyle{ -2}\).

Od razu zaznaczam, że nie jest mi potrzebny wynik, tylko sposób rozwiązywania.
Thx

Mam nadzieję, że nie było jeszcze takiego tematu. Jeżeli był, to z góry przepraszam.

_el_doopa
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 453
Rejestracja: 22 sie 2004, o 23:09
Płeć: Mężczyzna
Pomógł: 16 razy

Wielomian czwartego stopnia z parametrem

Post autor: _el_doopa » 7 lut 2005, o 19:08

wzory Viete'a(pod warunkiem ze ma 4 pierwiastki)
\(\displaystyle{ x_1+x_2+x_3+x_4=-m}\)
czyli drugi warunek jest spełniony jeśli spelniony jest pierwszy oraz:
\(\displaystyle{ m=2}\)
wystarczy sprawdzic czy wielomian ma 4 pierwiastki:
\(\displaystyle{ P(x)=x^4+2x^3-3x^2-4x+2}\)
zeby to wykzac skorzystak z ciaglosci wielomianu i z tego ze
\(\displaystyle{ P(0)=2}\) oraz \(\displaystyle{ P(1)=-2}\)
\(\displaystyle{ P(-1)=2}\) oraz \(\displaystyle{ P(-2)=-2}\)

Awatar użytkownika
Comma
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 647
Rejestracja: 22 lis 2004, o 19:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: B-j
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 77 razy

Wielomian czwartego stopnia z parametrem

Post autor: Comma » 7 lut 2005, o 21:10

Dziękuję serdecznie.

A tak btw. ile jest wzorów Viete'a?
Bo do tej pory znałam tylko dwa.

arigo
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 852
Rejestracja: 23 paź 2004, o 10:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin
Pomógł: 28 razy

Wielomian czwartego stopnia z parametrem

Post autor: arigo » 7 lut 2005, o 21:23


Awatar użytkownika
Tomasz Rużycki
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2970
Rejestracja: 8 paź 2004, o 17:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Suchedniów/Kraków
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 292 razy

Wielomian czwartego stopnia z parametrem

Post autor: Tomasz Rużycki » 7 lut 2005, o 21:23

To co jest w programie LO to tylko 'kawałek' twierdzenia Viete'a:)

Treść:

Liczby \(\displaystyle{ x_1,\,x_2,\,...,\,x_n}\) są pierwiastkami wielomianu \(\displaystyle{ f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0}\), gdzie \(\displaystyle{ a_n\neq 0}\), wtedy i tylko wtedy, gdy spełniają układ równań:

\(\displaystyle{ \LARGE\sum_{i=1}^nx_i=-\frac{a_{n-1}}{a_n}}\)

\(\displaystyle{ \LARGE\sum_{1\leq i}\)

\(\displaystyle{ \LARGE\sum_{1\leq i}\)

...

\(\displaystyle{ \LARGE\sum_{1\leq i_1}\)

\(\displaystyle{ \LARGE x_1x_2x_3...x_n=(-1)^n\cdot \frac{a_0}{a_n}}\)


Pozdrawiam,
--
Tomasz Rużycki
Ostatnio zmieniony 16 lut 2005, o 09:19 przez Tomasz Rużycki, łącznie zmieniany 1 raz.

Awatar użytkownika
Comma
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 647
Rejestracja: 22 lis 2004, o 19:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: B-j
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 77 razy

Wielomian czwartego stopnia z parametrem

Post autor: Comma » 11 lut 2005, o 23:00

Arigo, Tomek - dziękuję bardzo

ODPOWIEDZ