Matematyka.pl

rozwiąż równanie
\(\displaystyle{ (z-1)^n=(z+1)^n}\)

Zauważ, że ani \(\displaystyle{ z=1}\), ani \(\displaystyle{ z=-1}\) nie jest rozwiązaniem tego równania. W związku z tym należy sobie podzielić obie strony np. przez \(\displaystyle{ (z+1)^n}\). Należy więc rozwiązać równanie:

\(\displaystyle{ \left(\frac{z-1}{z+1}\right)^n=1}\)
\(\displaystyle{ \frac{z-1}{z+1}=\sqrt[n]{1}}\)
\(\displaystyle{ \frac{z+1-2}{z+1}=\sqrt[n]{1}}\)
\(\displaystyle{ 1-\frac{2}{z+1}=\sqrt[n]{1}}\)
\(\displaystyle{ \frac{2}{z+1}=1-\sqrt[n]{1}}\)
\(\displaystyle{ z+1=\frac{2}{1-\sqrt[n]{1}}}\)
\(\displaystyle{ z=\frac{2}{1-\sqrt[n]{1}}-1}\)

Pamiętaj, że to równanie ma dokładnie n pierwiastków, one siedzą w tym pierwiastku z jedynki:
\(\displaystyle{ \sqrt[n]{1}=\cos\frac{2k\pi}{n}+i\sin\frac{2k\pi}{n}}\), gdzie \(\displaystyle{ k\in\{ 0,\dots, n-1\}}\)

dzięki wielkie, a moja radość jest tym większa że włąsnie tak próbowałem na egzaminie