Matematyka.pl

Mam takie zadanie

Udowodnij, że warstwy lewostronne(lub prawostronne) grupy G względem podgrupy H są rozłączne lub identyczne.


A także drugi od razu:

Czy zbiór postaci:
\(\displaystyle{ Q(\sqrt{2})=\{a+b\sqrt{2} : a,b Q\}}\)
z naturalnymi operacjami dodawania i mnożenia, gdzie Q jest zbiorem liczb wymiernych, jest ciałem? Jeżeli tak - udowodnić. Jeżeli nie - uzasadnić.


Dowodzenie to jest moja słaba strona, dlatego byłbym wdzięczny z opisu krok po kroku

[ Dodano: 20 Czerwca 2007, 21:36 ]
Mam dowód na pierwsze....

Poszukuję jeszcze do drugiego...

Mam propozycję na dowód, że dwie warstwy lewostronne są sobie równe lub rozłączne.

Niech \(\displaystyle{ a,b\in G}\). Załóżmy, że warstwy aH i bH mają wspólny element c. Pokażemy, że aH = bH. Niech \(\displaystyle{ g\in aH}\). Wtedy g = ah dla pewnego \(\displaystyle{ h\in H}\). Ponieważ \(\displaystyle{ c\in aH\cap bH}\). istnieją \(\displaystyle{ h_{1}}\), \(\displaystyle{ h_{2}}\) takie, że c = a\(\displaystyle{ h_{1}}\) = b\(\displaystyle{ h_{2}}\). Stąd mamy:

g = ah = a\(\displaystyle{ h_{1}}\)\(\displaystyle{ h_{1}^{-1}}\)h = b\(\displaystyle{ h_{2}}\)\(\displaystyle{ h_{1}^{-1}}\)h,

gdzie \(\displaystyle{ h_{2}h_{1}^{-1}h\in H}\), więc \(\displaystyle{ g\in bH}\). Stąd \(\displaystyle{ aH\subseteq bH}\). Zamieniając rolami a i b otrzymujemy inkluzję w drugą stronę, co kończy dowód.

[ Dodano: 28 Czerwca 2007, 16:00 ]
Zbiór \(\displaystyle{ Q(\sqrt2)}\) ze zwykłym dodawaniem i mnożeniem jest ciałem. Ciałem jest pierścień z jednością, gdzie \(\displaystyle{ 0_R\neq 1_R}\) i każdy \(\displaystyle{ element\neq 0}\) musi być odwracalny.


Resztę napiszę później. Pa

Mi wyszło,że \(\displaystyle{ \mathbb{Q}(\sqrt{2})}\) jest ciałem.
Wystarczy pokazać,że:
\(\displaystyle{ \left(\mathbb{Q}(\sqrt{2}),+,0\right)}\) i \(\displaystyle{ \left(\mathbb{Q}(\sqrt{2})\backslash \{0\},\cdot,1\right)}\) są grupami abelowymi oraz,że dla dowolnych \(\displaystyle{ x,y,z \mathbb{Q}(\sqrt{2})}\) zachodzi \(\displaystyle{ x (y+z) = (x y) + (x z)}\).