Matematyka.pl

Witam,
czy mogę Was, szanownych użytkowników forum prosić o sprawdzenie rozwiązania zadanka.
Otóż, chcę wyznaczyć moment bezwładności poniższych układów (mając daną masę oraz promień zaznaczony na rysunkach) zakładając, że są jednorodne a oś jest prostopadła do "kartki".
I tak dla pierwszego układu otrzymałem:

Masa jednego okręgu: \(\displaystyle{ \frac{1}{2}m}\)
\(\displaystyle{ I = I_{1} + I_{2} = 2I_{1}}\)

\(\displaystyle{ I_{1} = \frac{mR^{2}}{2}}\)

Tw. Steinera
\(\displaystyle{ I = I_{1} + m d^{2}}\)

\(\displaystyle{ I = 2I_{1} = 2( \frac{ \frac{1}{2}mR^{2} }{2} + \frac{1}{2}mR^{2} ) = 2( \frac{1}{4}mR^{2} + \frac{1}{2}mR^{2}) = \frac{3}{2}mR^{2}}\)

A dla drugiego układu:

\(\displaystyle{ I = I_{1} - \frac{1}{2}I_{1} = \frac{1}{2}I_{1} = \frac{1}{2}( \frac{ \frac{1}{2}mR^{2} }{2} + \frac{1}{2}mR^{2} ) = \frac{1}{8}mR^{2} + \frac{1}{4}mR^{2} = 0,375mR^{2}}\)

Wolf pisze:I tak dla pierwszego układu otrzymałem:
Masa jednego okręgu: \(\displaystyle{ \frac{1}{2}m}\)
\(\displaystyle{ I = I_{1} + I_{2} = 2I_{1}}\)
\(\displaystyle{ I_{1} = \frac{mR^{2}}{2}}\)
Tw. Steinera
\(\displaystyle{ I = I_{1} + m d^{2}}\)

\(\displaystyle{ I _{1} = \frac{1}{2}\left( \frac{1}{2} m\right)R^2+\left( \frac{1}{2}m \right) \left( \frac{R}{2} \right)^2}\)

Wolf pisze:A dla drugiego układu:
\(\displaystyle{ I = I_{1} - \frac{1}{2}I_{1} = \frac{1}{2}I_{1} = \frac{1}{2}( \frac{ \frac{1}{2}mR^{2} }{2} + \frac{1}{2}mR^{2} ) = \frac{1}{8}mR^{2} + \frac{1}{4}mR^{2} = 0,375mR^{2}}\)

Nie można sprawdzić Twoich obliczeń gdyż nie napisałeś jaka jest masa tego elementu.

Zakładam że masa to 3M, a wtedy:
\(\displaystyle{ I= \frac{1}{2}4MR^2-\left( \frac{1}{2}MR^2+m\left( \frac{R}{2} \right)^2 \right)}\)

Przy założeniu, że są to walce ( a nie okręgi ) oraz ich jednorodności, wypadkowy moment bezwładności ( momenty są skalarami więc dodaje się je algebraicznie ) dla pierwszego układu wynosi \(\displaystyle{ 3mR^2}\), a dla drugiego \(\displaystyle{ \frac{13}{32}mR^2}\), gdzie m to masa pojedyńczego walca o promieniu R.

kerajs, dlaczego dla pierwszego układu odległość między osiami \(\displaystyle{ d}\) wedłgu Twojego zapisu wynosi \(\displaystyle{ \left( \frac{R}{2} \right) ^{2}}\) ?

Sorry. Powinno oczywiście być:
\(\displaystyle{ I _{1} = \frac{1}{2}\left( \frac{1}{2} m\right)R^2+\left( \frac{1}{2}m \right) R^2= \frac{3}{4} mR^2}\)
co pokrywa się z Twoim prawidłowym wynikiem.


W drugim wychodzi mi \(\displaystyle{ I= \frac{13}{8}mR^2= \frac{13}{32}(4m)R^2}\) co jest takim samym wynikiem jak u użytkownika daras170. Różnica wynika z przyjęcia innej masy tarczy występujacej w zadaniu.