Matematyka.pl

Znalesc przykład zbioru w dowolnej przestrzeni zeby byl on domkniety i ograniczony ale nie byl zwarty.


No i niestety mam z tym problem, wiec prosilabym o pomoc. Przyklad takiego ciagu i krotkie wyjasnienie czemu nie jest zwarty ??:

\(\displaystyle{ X}\) to funkcje na \(\displaystyle{ [0,1]}\) z norma supremum, \(\displaystyle{ A}\) to wszystkie funkcje na modul \(\displaystyle{ \leq 1}\) (czyli po prostu jednostkowa kula domknieta). jest domkniety i ograniczony - wiadomo. wezmy pokrycie kulami \(\displaystyle{ K_f := K(f, ||f||)}\), po wszystkich \(\displaystyle{ f A \setminus \{ 0 \}}\) i kula \(\displaystyle{ K(0,1/100)}\) (jakbysmy wzieli po wszystkich \(\displaystyle{ f A}\) to nie byloby pokrycie, bo zero nigdzie by nie siedzialo). powiedzmy ze da sie wybrac podpokrycie skonczone \(\displaystyle{ K_{f_1}, ..., K_{f_N}}\). wszystkie funkcje z ustalonej kuli (procz kuli zerowej) maja staly znak na ustalonym argumencie. zatem jesli wybierzemy \(\displaystyle{ N}\) argumentow \(\displaystyle{ x_1, ..., x_N}\) i zazadamy od funkcji \(\displaystyle{ g}\), aby \(\displaystyle{ g(x_j) = -f_j (x_j)}\), to g nie bedzie nalezec do zadnej z kul \(\displaystyle{ K_{f_j}}\).

a moge podac inny przyklad?
topologii juz nie pamietam za bardzo

ale mma nadzieje ze dobrze kombinuje --- wezmy metryke "kolej" i odcinek [(0,1),(1,1)] w R2... z oczywistych wzgledow odcinek domkniety jest domknietym zbiorem:) ograniczomy tez (zapewne - bo def. juz nie pamietam) a czy jest zwarty? o ile dobrze pamietam to zb. zwarty jezeli kazdy ciag Cauchy'ego jest zbiezny ---- natomiast w tym zbiorze odleglosc pomiedzy dwoma dowolnymi pkt. nie jest mniejsza od 2

czy to jest dobry przyklad - nie wiem

bondyros napisał"

o ile dobrze pamietam to zb. zwarty jezeli kazdy ciag Cauchy'ego jest zbiezny ---- natomiast w tym zbiorze odleglosc pomiedzy dwoma dowolnymi pkt. nie jest mniejsza od 2

czy to jest dobry przyklad - nie wiem

nieco pomyliłes zwartość z zupełnoscia....; każda przestzren metryczna zwarta jest zupełna, ...zas zwartosc - o ile jest metryka -oznacza moznosc wyboru z dowolnego ciagu -podciagu zbieznego, tak ze cos chyba nie gra....

To ja moze podam łatwieszy przykład. Weźmy zbiór R licz rzeczywistych z metryką dyskretną. Weźmy w nim dowolny nieskonczony podzbiór np. Q. Oczywiście taki podzbiór jest domknięty (bo w metryce dyskretnej każdy zbiór jest otwarto-domknięty), jest ponadto ograniczony bo diam=1 ale nie jest zwart bo jak wybierzemy pokrycie zbiorami jednopunktowymi to oczywiście z takiego pokrycia nie wybierzemy podpokrycia skończonego zatem Q zawarte w R z metryką dyskretną nie jest zwarty