Matematyka.pl

jak obliczyć :
\(\displaystyle{ \int_{c} xdy+ ydx}\), gdzie c jest górną połówką okręgu o środku w punkcie(0,0) i promieniu równym 1??

Dokonujemy parametryzacji:
\(\displaystyle{ x=\cos{t}\\y=\sin{t}}\), gdzie \(\displaystyle{ t\in (0,\pi)}\)
Stad:
\(\displaystyle{ \int_C xdy + ydx=\int\limits_{0}^{\pi} \cos{t} \cos{t} + \sin{t}\cdot (-\sin{t}) dt =\int\limits_{0}^{\pi} \cos{2t}dt=0}\)

Możemy też zauważyć, że wyrażenie podcałkowe jest różniczą zupełną funkcji F danej wzorem:
\(\displaystyle{ F(x,y) = xy}\)
Teraz należy jedynie policzyć
F(1,0) - F(-1,0) = 0.