równanie różniczkowe

[wolnyjac21]

Witam,

mam problem z rozwiązaniem następującego równania:
\(\displaystyle{ t'x+t=x^2 - t}\)

rozwiązuje w ten sposób:

\(\displaystyle{ x \cdot dt/dx = x^2 - 2t / \cdot (dx/x) /: (x^2-2t)
dt/(x^2-2t) = dx/x}\)

no i tu zaczyna się mój problem, gdyby ktoś mógł mi podpowiedzieć jak dokończyć to zadanie, albo jak inaczej je przekształcić?

[bartek118]

Mamy
\(\displaystyle{ (tx)' = x^2 - t \\
u := tx \\
u' = x^2 - \frac{u}{x} \\
u' x = x^3 - u \\
u' x + u = x^3 \\
(ux)' = x^3 \\
ux = \frac{x^4}{4} + A \\
t x^2 = \frac{x^4}{4} + A \\
t = \frac{x^2}{4} + \frac{A}{x^2}}\)

[wolnyjac21]

a dla przykłądu:

\(\displaystyle{ t'x + 3t = x^3}\)

masz jakiś sprytny pomysł na rozwiązanie tego?

[kerajs]

\(\displaystyle{ t'x + 3t = x^3}\)
Zarówno to równanie, jak i pierwsze jest zwykłym równaniem liniowym I rzędu.
\(\displaystyle{ t' + \frac{3}{x} t = x^2}\)
Najczęściej rozwiązuje się je przez uzmiennianie stałej równania uproszczonego.

Potrafisz to zrobić ?

[Mariusz M]

\(\displaystyle{ t'x^3 + 3x^2t = x^5\\
\left( tx^3\right)'=x^5\\
u=tx^3\\
u'=x^5\\
\mbox{d}u=x^5 \mbox{d}x\\
u=\frac{x^6}{6}+C\\
tx^3=\frac{x^6}{6}+C\\
t=\frac{x^3}{6}+\frac{C}{x^3}}\)