Matematyka.pl

Witam!

Mam problem z zadankiem:
Wykazać, że relacja w \(\displaystyle{ \mathbb{N} \times \mathbb{N}}\) taka, że \(\displaystyle{ \left( m,n\right) \sim \left( k,l\right)}\) jeśli \(\displaystyle{ m+l =n+k}\), jest relacją równoważności. Opisać klasy równoważności. Czym jest zbiór klas równoważności?

Mam to wykazać w ten sposób? :

relacja zwrotna \(\displaystyle{ \forall x\inX}\) , \(\displaystyle{ x \sim x}\) \(\displaystyle{ m+m=n+n \Rightarrow 2m=2n}\) i tyle?
relacja symetryczna \(\displaystyle{ \forall x,y\in X}\) , \(\displaystyle{ x \sim y \Rightarrow y \sim x}\) \(\displaystyle{ m + l = n + k \Rightarrow l + m = k + l}\)
relacja przechodnia \(\displaystyle{ \forall x,y,z\in X}\) , \(\displaystyle{ x \sim y \wedge y \sim z \Rightarrow x \sim z}\) czyli \(\displaystyle{ z=\left( o,p\right)}\) , \(\displaystyle{ m+l = n+k \wedge k+p = l+o \Rightarrow m+p =n+o}\)
tu jest chyba taki myk, że zapisuję to w ten sposób:
\(\displaystyle{ m+l =n+k}\)
\(\displaystyle{ k+p =l +o}\) i skracam \(\displaystyle{ k}\) i \(\displaystyle{ l}\), bo są po obydwóch stronach, a następnie zapisuję \(\displaystyle{ m+p=n+o}\). Tak przynajmniej robiliśmy na zajęciach...

nie wiem co z tym dalej zrobić, a z opisaniem klasy równoważności już totalnie sobie nie potrafię poradzić, ktoś pomoże?

Z góry dziękuje za odpowiedź!!

Klasy równoważności to inaczej klasy abstrakcji. Najprościej mówiąc klasa abstrakcji elementu \(\displaystyle{ x}\) to wszystkie elementy \(\displaystyle{ y}\), które SĄ Z NIM W RELACJI.

Sachato pisze: relacja zwrotna \(\displaystyle{ \forall x\inX}\) , \(\displaystyle{ x \sim x}\) \(\displaystyle{ m+m=n+n \Rightarrow 2m=2n}\) i tyle?

Źle zastosowana definicja relacji.

Sachato pisze: relacja symetryczna \(\displaystyle{ \forall x,y\in X}\) , \(\displaystyle{ x \sim y \Rightarrow y \sim x}\) \(\displaystyle{ m + l = n + k \Rightarrow l + m = k + l}\)

I co dalej? Jakiś komentarz poza rozpisaniem definicji?

Sachato pisze: relacja przechodnia \(\displaystyle{ \forall x,y,z\in X}\) , \(\displaystyle{ x \sim y \wedge y \sim z \Rightarrow x \sim z}\) czyli \(\displaystyle{ z=\left( o,p\right)}\) , \(\displaystyle{ m+l = n+k \wedge k+p = l+o \Rightarrow m+p =n+o}\)
tu jest chyba taki myk, że zapisuję to w ten sposób:
\(\displaystyle{ m+l =n+k}\)
\(\displaystyle{ k+p =l +o}\) i skracam \(\displaystyle{ k}\) i \(\displaystyle{ l}\), bo są po obydwóch stronach, a następnie zapisuję \(\displaystyle{ m+p=n+o}\). Tak przynajmniej robiliśmy na zajęciach...

Jaki znowu myk? Wystarczy przecież zwykłe wyrugowanie z pierwszej równości \(\displaystyle{ k}\) i podstawienie do drugiej równości. Komentarz ze "skracaniem" jest wysoce nieprecyzyjny.

Sachato pisze: nie wiem co z tym dalej zrobić, a z opisaniem klasy równoważności już totalnie sobie nie potrafię poradzić, ktoś pomoże?

Zauważ, ze relację można przepisać do postaci

\(\displaystyle{ (m,n)\sim (k,l)\iff m-n=k-l}\).

Albo inaczej: \(\displaystyle{ (m,n)\sim (k,l)\iff m=k-l+n}\).

Jeżeli więc masz ustalony element \(\displaystyle{ (k,l)}\), to każdy będący z nim w relacji jest podany jak powyżej.

yorgin pisze:

Sachato pisze: relacja zwrotna \(\displaystyle{ \forall x\inX}\) , \(\displaystyle{ x \sim x}\) \(\displaystyle{ m+m=n+n \Rightarrow 2m=2n}\) i tyle?

Źle zastosowana definicja relacji.

rzeczywiście Powinno być- \(\displaystyle{ m+n =n+m}\), czyli \(\displaystyle{ 0=0}\) ? I tyle?

yorgin pisze:

Sachato pisze: relacja symetryczna \(\displaystyle{ \forall x,y\in X}\) , \(\displaystyle{ x \sim y \Rightarrow y \sim x}\) \(\displaystyle{ m + l = n + k \Rightarrow l + m = k + l}\)

I co dalej? Jakiś komentarz poza rozpisaniem definicji?

No właśnie nie wiem, mam to zapisać w układzie równań i skrócić?

yorgin pisze:

Sachato pisze: relacja przechodnia \(\displaystyle{ \forall x,y,z\in X}\) , \(\displaystyle{ x \sim y \wedge y \sim z \Rightarrow x \sim z}\) czyli \(\displaystyle{ z=\left( o,p\right)}\) , \(\displaystyle{ m+l = n+k \wedge k+p = l+o \Rightarrow m+p =n+o}\)
tu jest chyba taki myk, że zapisuję to w ten sposób:
\(\displaystyle{ m+l =n+k}\)
\(\displaystyle{ k+p =l +o}\) i skracam \(\displaystyle{ k}\) i \(\displaystyle{ l}\), bo są po obydwóch stronach, a następnie zapisuję \(\displaystyle{ m+p=n+o}\). Tak przynajmniej robiliśmy na zajęciach...

Jaki znowu myk? Wystarczy przecież zwykłe wyrugowanie z pierwszej równości \(\displaystyle{ k}\) i podstawienie do drugiej równości. Komentarz ze "skracaniem" jest wysoce nieprecyzyjny.

Czyli taki układ równości stworzyć? Czy po prostu przerzucić wszystko na drugą stronę, tak żeby została zmienna \(\displaystyle{ k}\) i ją podstawić do drugiego równania ?:)

yorgin pisze:

Sachato pisze: nie wiem co z tym dalej zrobić, a z opisaniem klasy równoważności już totalnie sobie nie potrafię poradzić, ktoś pomoże?

Zauważ, ze relację można przepisać do postaci

\(\displaystyle{ (m,n)\sim (k,l)\iff m-n=k-l}\).

Albo inaczej: \(\displaystyle{ (m,n)\sim (k,l)\iff m=k-l+n}\).

Jeżeli więc masz ustalony element \(\displaystyle{ (k,l)}\), to każdy będący z nim w relacji jest podany jak powyżej.

I tyle wystarczy, czy jeszcze jakiś komentarz słowny?

Dziękuje za odpowiedzi! ))

Sachato pisze: rzeczywiście Powinno być- \(\displaystyle{ m+n =n+m}\), czyli \(\displaystyle{ 0=0}\) ? I tyle?

Prawie tyle. Skoro jest tożsamość, to... dokończ samodzielnie.

Sachato pisze: No właśnie nie wiem, mam to zapisać w układzie równań i skrócić?

Po co? Wypisana implikacja to nic innego, jak przemienność dodawania. Wystarczy się więc na nią powołać.

Sachato pisze: Czyli taki układ równości stworzyć? Czy po prostu przerzucić wszystko na drugą stronę, tak żeby została zmienna \(\displaystyle{ k}\) i ją podstawić do drugiego równania ?:)

Lepiej po prostu wyruguj \(\displaystyle{ k}\) i podstaw do drugiego równania.

Sachato pisze: I tyle wystarczy, czy jeszcze jakiś komentarz słowny?

Oczywiście, że nie wystarczy. Nawet dodatkowy komentarz słowny nie wystarczy. Oczekiwana odpowiedź jest taka:

\(\displaystyle{ [(k,l)]_{\sim}=\{\ldots\}}\)

gdzie w miejsce kropek trzeba coś wpisać.

Brak jest też odpowiedzi na pytanie

Czym jest zbiór klas równoważności?

Tutaj pomocne może być to, że każda klasa równoważności składa się z tych par, których różnice są ustaloną liczbą całkowitą.

yorgin pisze: Prawie tyle. Skoro jest tożsamość, to... dokończ samodzielnie.

jest spełniona niezależnie od liczb wstawionych w równanie- coś takiego xD

yorgin pisze: Lepiej po prostu wyruguj \(\displaystyle{ k}\) i podstaw do drugiego równania.

co to znaczy wyruguj?

yorgin pisze: Oczywiście, że nie wystarczy. Nawet dodatkowy komentarz słowny nie wystarczy. Oczekiwana odpowiedź jest taka:

\(\displaystyle{ [(k,l)]_{\sim}=\{\ldots\}}\)

gdzie w miejsce kropek trzeba coś wpisać.

Brak jest też odpowiedzi na pytanie

Czym jest zbiór klas równoważności?

Tutaj pomocne może być to, że każda klasa równoważności składa się z tych par, których różnice są ustaloną liczbą całkowitą.

Nie wiem co tu można napisać. Para liczb jakoś mi się wydaje zamknięta na jakiekolwiek modyfikacje.
\(\displaystyle{ [(k,l)]_{\sim}=}\) takie, że \(\displaystyle{ (k,l)}\) jest w relacji \(\displaystyle{ (m,n)}\)?

Sachato pisze:jest spełniona niezależnie od liczb wstawionych w równanie- coś takiego xD

...to dowolna para \(\displaystyle{ (m,n)}\) jest w relacji sama ze sobą, czyli relacja jest zwrotna.

Sachato pisze:co to znaczy wyruguj?

Chodziło o wyznaczenie \(\displaystyle{ k}\) z pierwszego równania i podstawienie do drugiego.

Sachato pisze:Nie wiem co tu można napisać. Para liczb jakoś mi się wydaje zamknięta na jakiekolwiek modyfikacje.
\(\displaystyle{ [(k,l)]_{\sim}=}\) takie, że \(\displaystyle{ (k,l)}\) jest w relacji \(\displaystyle{ (m,n)}\)?

Nie. Masz opisać ten zbiór, a nie zacytować (niepoprawnie zresztą) definicję klasy abstrakcji elementu. Przy tym nie musisz korzystać z nawiasów kwadratowych. Ja opisałbym klasy abstrakcji tak:

\(\displaystyle{ A_z=\{(k,l)\in\NN\times\NN: k-l=z\}}\), gdzie \(\displaystyle{ z\in\ZZ}\).

Wtedy dość prosta jest odpowiedź na ostatnie pytanie.

Przy okazji polecam 308032.htm#p4974249.

JK

W ten sposób...

Ciężko wpaść na to, a to jest strasznie proste... Dziękuje bardzo chłopaki. Bardzo mi pomogliście.