Matematyka.pl

W ostrosłupie prawidłowym o podstawie kwadratowej stosunek długości promienia kuli opisanej do długości promienia kuli wpisanej jest największy z możliwych. Wyznaczyć stosunek pola powierzchni bocznej do pola podstawy w tym ostrosłupie.

Nie mam juz pomysłu jak to wyznaczyć siedzę już dość długo i dalej nie wymyśliłem rozwiązania. Czy jest ktoś w stanie to rozwiązać i wytłumaczyć.

Moim zdaniem bez sensu. Jeśli bok kwadratu (podstawy) ma krawędź \(\displaystyle{ 2a}\), to kula wpisana ma promień mniejszy niż \(\displaystyle{ a}\), zaś opisana może być dowolnie wielka (wystarczy ciągnąć wierzchołek do góry).

Dział był dobry ponieważ zadanie jest z Mistrzostw w Grach Matematycznych i Logicznych.
Co do rozwiązania, musi jakieś być bo raczej nie dawaliby go w półfinale krajowym jako jedno z najtrudniejszych zadan.

Co nie zmienia faktu, że zadanie dotyczy stereometrii.
JK

W obecnej wersji jest bez sensu, bo stosunek, o który pytają, może być dowolnie duży. Czy chodzi o to ? Nie wiem, co robię źle.

Sam dziwie się, że zadanie jest tak "dziwnie" skonstruowane.


Wkleje tak jak jest na stronie.
Zadanie 15 (XIII MMF, półfinał krajowy). W ostrosłupie prawidłowym o podstawie kwadratowej stosunek długości promienia kuli opisanej do długości promienia kuli wpisanej jest największy z możliwych. Wyznaczyć stosunek pola powierzchni bocznej do pola podstawy w tym ostrosłupie.


Źródło:

Według mnie, trzeba zauważyć, że przekątna podstawy to z tw. cosinusów\(\displaystyle{ a \sqrt{2} = R \sqrt{1- \cos \alpha }}\), czyli promień kuli opisanej będzie największy przy \(\displaystyle{ \alpha \rightarrow \pi}\)

Mozesz to jakos rozpisac bo nie rozumuje twojego toku rozumowania z twierdzeniem cosinusow.

Niech kwadrat \(\displaystyle{ ABCD}\) będzie podstawą ostrosłupa \(\displaystyle{ ABCDS}\), oraz niech \(\displaystyle{ O}\) będzie środkiem kuli opisanej na tym ostrosłupie. Wtedy Przekątna \(\displaystyle{ AC}\) oraz promienie \(\displaystyle{ OA}\) i \(\displaystyle{ OC}\) tworzą trójkąt równoramienny.

Niech \(\displaystyle{ \alpha = AOC}\).
Wtedy mamy \(\displaystyle{ |AC|^2=|AO|^2+|CO|^2-2 \cdot |AO| \cdot |CO| \cdot \cos \alpha}\) (już widzę, że wyżej się pomyliłem )

Skoro \(\displaystyle{ |AO|=|CO|}\) to \(\displaystyle{ |AC|= \sqrt{|AO|^2+|AO|^2-2 \cdot |AO| \cdot |AO| \cdot \cos \alpha }=|AO| \sqrt{2-2 \cos \alpha }}\)

Medea 2 pisze:. Jeśli bok kwadratu (podstawy) ma krawędź \(\displaystyle{ 2a}\), to kula wpisana ma promień mniejszy niż \(\displaystyle{ a}\), zaś opisana może być dowolnie wielka (wystarczy ciągnąć wierzchołek do góry).

czyli \(\displaystyle{ R \rightarrow \infty \wedge r \rightarrow a}\)


A gdyby wierzchołek przybliżać do podstawy, to promień kuli wpisanej maleje do zera (czyli \(\displaystyle{ R \rightarrow \infty \wedge r \rightarrow 0}\)). Stosunek pól wynosi wtedy 1.

Możliwe że o taki wynik chodzi twórcom zadania , gdyż oczywistym jest że : \(\displaystyle{ \ \ \frac{ \infty }{0} > \frac{ \infty }{a}}\) ,