Dowód z olimpiady
: 16 maja 2015, o 17:02
Jak Udowodnić, że dla dowolnych liczb dodatnich $a,b,c$ zachodzi nierówność
\(\displaystyle{ 2(a^{4}+ab^{3}+b^{2}c)^{3}\leq 9 (a^{6}+b^{6})(a^{6}+b^{6}+c^{3}).}\)
Mam skorzystać z Twierdzenia o następującej postaci:
Jeżeli \(\displaystyle{ a_{1}, a_{2}, \cdots a_{n}}\) są liczbami dodatnimi, to
\(\displaystyle{ \frac{a_{1} + \sqrt{a_{1}\cdot a_{2}} + ... + \sqrt[n]{a_{1}\cdot a_{2}\cdot ... \cdot a_{n}}}{n}\leq \sqrt[n]{a_{1}\cdot \frac{a_{1}+a_{2}}{n}\cdot ... \cdot \frac{a_{1}+a_{2}+...+a_{n}}{n} }.}\)
Jak przekształcić treść mojego zadania aby można było skorzystać z tego twierdzenia?
Ma mi wyjść \(\displaystyle{ n=3 a_{1}=6, a_{2}=b^{6}, a_{3}=c^{3}}\)
\(\displaystyle{ 2(a^{4}+ab^{3}+b^{2}c)^{3}\leq 9 (a^{6}+b^{6})(a^{6}+b^{6}+c^{3}).}\)
Mam skorzystać z Twierdzenia o następującej postaci:
Jeżeli \(\displaystyle{ a_{1}, a_{2}, \cdots a_{n}}\) są liczbami dodatnimi, to
\(\displaystyle{ \frac{a_{1} + \sqrt{a_{1}\cdot a_{2}} + ... + \sqrt[n]{a_{1}\cdot a_{2}\cdot ... \cdot a_{n}}}{n}\leq \sqrt[n]{a_{1}\cdot \frac{a_{1}+a_{2}}{n}\cdot ... \cdot \frac{a_{1}+a_{2}+...+a_{n}}{n} }.}\)
Jak przekształcić treść mojego zadania aby można było skorzystać z tego twierdzenia?
Ma mi wyjść \(\displaystyle{ n=3 a_{1}=6, a_{2}=b^{6}, a_{3}=c^{3}}\)