Matematyka.pl

Witam

Mam takie zadanko

Dany jest 11-kąt foremny. W sposób losowy wybieramy trzy jego wierzchołki. Jakie jest
prawdopodobieństwo, że trójkąt o tych wierzchołkach nie zawiera środka 11-kąta?

\(\displaystyle{ \left| \Omega \right|=11 \cdot 10 \cdot 9}\)

Teraz pierwszy punkt możemy wybrać dowolnie, drugi również, lecz co z trzecim.

\(\displaystyle{ \left| A\right| = 11 \cdot 10 \cdot ?}\)

Z góry dziękuję za odpowiedź

Wskazówka. Ustal jeden wierzchołek i poprowadź dwusieczną kąta, którego wierzchołkiem jest ten punkt. Pozostałe wierzchołki musisz wybrać z tych, które leżą na prawo od przekątnej (a co z tymi na lewo?).

Po lewej i prawej stronie mamy 5 wierzchołków z czego jeden jest już po jedne ze stron dwusiecznej to zostały 4, wybieramy jeden.

\(\displaystyle{ P(A)=\frac{11 \cdot 10 \cdot 4}{11 \cdot 10 \cdot 9} = \frac{4}{9}}\)

Dobrze?

Nie. Ustalasz wierzchołek, z którego wychodzi dwusieczna (11).

Wybierasz dwa wierzchołki na prawo od pierwszego (\(\displaystyle{ 5 \choose 2}\))

Wszystkich wyborów jest \(\displaystyle{ {11 \choose 3} = 165}\).

Gdyby ktoś jeszcze szukał rozwiązania dla tego problemu, to poza wypowiedzią Medea 2 może sprawdzić moją symulację w JS. Podrzucam link do CodePen:
Nie zrobiłem żadnych przycisków, ale podstawowa znajomość kodu wystarczy, żeby pobawić się trójkątami w konsoli. Wynik wyszedł 2/3.