Matematyka.pl

Dane jest wyrażenie \(\displaystyle{ *3^{5}*3^{4} *3^{3} *3^{2} *3^{1} *3^{0}}\). Gracze \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) wykonują kolejno ruchy- najpierw gracz \(\displaystyle{ A}\) - tj. zamieniają któryś znak * na + lub -. Gracze mają za zadanie zmienić wyrażenie na takie które będzie podzielne przez 7, co kończy grę.
Kto wygra tę grę ?

Szybko sprawdzamy, że:
\(\displaystyle{ 3^5\equiv 5 \ (\text{mod 7})}\)
\(\displaystyle{ 3^4\equiv 4 \ (\text{mod 7})}\)
\(\displaystyle{ 3^3\equiv 6 \ (\text{mod 7})}\)
\(\displaystyle{ 3^2\equiv 2 \ (\text{mod 7})}\)
\(\displaystyle{ 3^1\equiv 3 \ (\text{mod 7})}\)
\(\displaystyle{ 3^0\equiv 1 \ (\text{mod 7})}\)

Wystarczy więc, że jeśli gracz \(\displaystyle{ A}\) postawi znak przed \(\displaystyle{ k}\)-tą potęgą, to \(\displaystyle{ B}\) postawi taki sam znak przed \(\displaystyle{ mod(k-3; 6)}\)-tą potęgą, aby wygrać.