Matematyka.pl

...ograniczonego nastepujacymi powierzchniami:
\(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}+z^{2}=2}\)
oraz
\(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}=z}\)

Ja to zaczałem robic, zauwazyem (nie wiem czy do konca słusznie), ze mozna to podzielic na 2 obszary - nad plaszczyzna z=1 (czyli gorny wycinek sfery) i pod plaszczyzna z=1 (czyli nasza 'paraboloida' \(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}=z}\), ograniczona od gory plaszczyzna z=1). Tylko teraz mam mały problem bo 1) nie jestem pewien czy moje rozumowane jest słuszne i czy moglem tak zrobic i 2) nie do konca wiem jak policzyc ta całke z kotrej ma wyjsc objetosc paraboloidy (nie do konca jestem pewnien jak powinno sie to sparametryzwac) i po 3) nie wiem czy mój wynik \(\displaystyle{ =\pi*(\frac{5\sqrt{2}}{3}-2)}\) (pole tego gornego wycinka sfery) jest poprawny.

Wystarczy obliczyć:
\(\displaystyle{ \int \limits_{-1}^1 \, \int\limits_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}} \, \mbox{d}y \int\limits_{x^2 + y^2}^{\sqrt{2 - x^2 - y^2}} \, \mbox{d}z = \int \limits_{-1}^1 \, \int\limits_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}} \left( -x^2 -y^2 + \sqrt{2-x^2 -y^2} \right) \, \mbox{d}y}\)
Wprowadźmy teraz współrzędne biegunowe:
\(\displaystyle{ x = r \cos \phi\\
y = r \sin \phi}\)
\(\displaystyle{ J = r}\)
\(\displaystyle{ V = \int \limits_{0}^{2 \pi} \, \mbox{d} \phi \int \limits_{0}^{1} \left( -r^3 + r\sqrt{2 - r^2} \right) \, \mbox{d}r}\)

Twoja koncepcja rozwiazania zadania jest sluszna, mozna powstala bryle podzielic na 2.
Latwiej jednak policzyc, calke:
\(\displaystyle{ V=\int\limits_{0}^{2\pi}d\varphi \int\limits_{0}^{1} d\rho \int\limits_{\rho^2}^{\sqrt{2-\rho^2}} \rho dz}\)

Wielkie dzieki za pomoc... w sumie to nawet na poczatku tak probowałem to robic, ale w dolnej granicy całki po z wstawialem zero (a przeciez ona zero tylko 1 pkt osiaga) i cos mi nie wychodzilo dlatego tym drugim sposobóem probowałem.. ale faktycznie i tak i tak wychodzi. Jeszcze raz thx.