Matematyka.pl

w swojej pracy mam rozdzial "rozklad liczby naturalnej na sumę kwadratów"

potrzebuje umiescic w nim rowniez pojecie rozkladu, ale nigdzie nie mogę znaleźć, czy ktos moe ma jakis pomysl ?

Chodzi o to czy dla liczby naturalnej \(\displaystyle{ n}\) istnieją liczby naturalne \(\displaystyle{ m,k}\) takie, że \(\displaystyle{ n=m^2+k^2}\). Oczywiście równanie Pitagorasa \(\displaystyle{ c^2=a^2+b^2}\) ma nieskończenie wiele rozwiązań \(\displaystyle{ a,b,c\in\NN}\), więc dużo liczb \(\displaystyle{ c^2}\) można rozłożyć na sumę kwadratów. Nie każda liczba naturalna ma ten rozkład. Np. \(\displaystyle{ 3}\) nie ma. Ale \(\displaystyle{ 5}\) ma, \(\displaystyle{ 5=1^2+2^2}\). Piątka nie jest kwadratem, więc nie da się jej podciągnąć do równania Pitagorasa.

Może coś takiego?

Rozkładem (addytywnym) liczby (naturalnej) \(\displaystyle{ Q}\) nazywamy dowolny ciąg liczb \(\displaystyle{ \{a_n\}_{n\in\NN}}\) taki, że \(\displaystyle{ \sum\limits_{n\in\NN}a_n=Q}\).

W tym przypadku rozkład na sumę kwadratów oznaczałby, że prawie wszystkie \(\displaystyle{ a_n}\) są zerami oraz wszystkie te, które nie są zerami, są kwadratami liczb naturalnych.

W nawiasie napisałem słowo "addytywny", gdyż jak wiadomo, można liczbę rozkładać na iloczyny (np liczby pierwsze).

Rzeczywiście - jakoś zredukowałem sprawę do dwóch kwadratów

dziękuję yorgin, już wiem od czego zacząć

A po co pisać definicję rozkładu? Weź dowolną książkę z teorii liczb i zajrzyj, nie będzie tam takich bezużytecznych definicji.

Władysław Narkiewicz w Teorii liczh pisze:W roku 1770 matematyk angielski Edward Waring podał bez dowodu następujące twierdzenie: każda liczba naturalna jest sumą czterech kwadratów, dziewięciu sześcianów, dziewiętnastu czwartych potęg itd. (...) Obecnie pod nazwą twierdzenia Waringa-Hilberta rozumie się następujący rezultat: dla każdej liczby naturalnej \(\displaystyle{ k \ge 2}\) istnieje liczba \(\displaystyle{ s = s(k)}\) taka, że każda liczba naturalna jest sumą co najwyżej \(\displaystyle{ s}\) \(\displaystyle{ k}\)-tych potęg liczb naturalnych.

Rzeczywiście, definiowanie takich rzeczy przypomina trochę pisanie wszystkiego znaczkami, bo tak jest "matematyczniej".

Ja natomiast potrzebuje taka bezużyteczną definicje.