Matematyka.pl

udowodnić że dla każdego x: \(\displaystyle{ 2xarctg\geqslant ln(1+x^2)}\)

Ustalmy funkcję f argumentu x :
\(\displaystyle{ f(x) = 2 x \arctan x - \ln (1+x^2)}\)
Obliczmy teraz
\(\displaystyle{ f(0) = 0\\
f'(x) = 2 \arctan x}\)
A ponieważ \(\displaystyle{ \forall_{x \geq 0} \arctan x \geq 0}\) funkcja f jest rosnąca, gdy x >= 0.

edit
Zapomniałem, że jeszcze są x < 0
No to:
\(\displaystyle{ \lim_{x \to + } f(x) = +\infty}\)
Oraz dla x < 0 funkcja jest stale malejąca oraz wiemy, że f(0) = 0, zatem \(\displaystyle{ \forall_{x < 0}f(x) > 0}\)
(Ew. można zauważyć, że funkcja f jest parzysta)

Łącząc obydwa te fakty mamy ostatecznie, że \(\displaystyle{ \forall_{x \mathbb{R}} 2 x \arctan x q \ln (1+x^2)}\)

a nie lepiej
dla \(\displaystyle{ x>0}\)
\(\displaystyle{ 2xarctgx q \ln (x^2+1)}\) po podzieleniu obu stron przez \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ x\not{=}0}\) mamy \(\displaystyle{ 2arctgx\geq\frac{ln (x^2+1)}{x}}\) jedna funkcja jest rosnąca, a druga malejąca, liczymy granice po obu stronach nierówności przy \(\displaystyle{ x\rightarrow\infty}\) i wychodzi \(\displaystyle{ \pi\geq0}\) co jest prawdą.
dla \(\displaystyle{ x=0}\) mamy rówież zachowaną nierówność
podobnie można wykazać dla \(\displaystyle{ x}\)

Grzegorz t pisze:dla \(\displaystyle{ x>0}\)
\(\displaystyle{ 2xarctgx \geq \ln (x^2+1)}\) po podzieleniu obu stron przez \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ x\not{=}0}\) mamy
\(\displaystyle{ 2arctgx\geq\frac{ln (x^2+1)}{x}}\) jedna funkcja jest rosnąca, a druga malejąca...

Nie lepiej, bo \(\displaystyle{ \lim_{x\to 0^{+}} \frac{ln (x^2+1)}{x}}\)=\(\displaystyle{ \lim_{x\to \infty} \frac{ln (x^2+1)}{x}=0}\), zatem funkcja \(\displaystyle{ \frac {ln(x^2+1)}{x}}\) nie może być malejąca dla \(\displaystyle{ x>0}\).