Matematyka.pl

Czy da się w zwarty sposób przedstawić wyrazy ciągu
\(\displaystyle{ a_n=\frac{1}{k+1}+\frac{1}{k+2}+...+\frac{1}{k+n}}\)

dla pewnego \(\displaystyle{ k \in \mathbb{N}}\)? Tzn. czy da się obliczyć sumę tych ułamków, którą wyznaczy się za pomocą n i k?

Nie. W matematyce zdefiniowano liczby harmoniczne:

\(\displaystyle{ H_n = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \ldots + \frac{1}{n}}\)

i wtedy

\(\displaystyle{ \frac{1}{k+1} + \ldots + \frac{1}{k+n} = H_{k+n} - H_k,}\)

ale nie ma na to wzoru zwartego.