Tożsamość Li-Żen-Szua
: 4 maja 2015, o 17:55
Udowodnić, że \(\displaystyle{ \sum_{j=0}^{k} {k \choose j}^2 {n+2k-j \choose 2k}= {n+k \choose k}^2}\)
Ukryta treść:
Dowodzi się ją stosując trzy kluczowe wzorki:
I:
\(\displaystyle{ \sum_{j=s}^{k} {k \choose j}^2 {j \choose s}= {k \choose s} {2k-s \choose k}}\)
II:
\(\displaystyle{ {n+2k-j \choose n} {2k-j \choose k}= {n+2k-j \choose n+k} {n+k \choose k}}\)
III:
\(\displaystyle{ \sum_{s=0}^{m}(-1)^s {n \choose s}=(-1)^m {n-1 \choose m}}\)