Matematyka.pl

Niech \(\displaystyle{ p}\) będzie liczbą pierwszą i dzieli \(\displaystyle{ a^2+b^2}\) dla pewnych \(\displaystyle{ a,b \in \left\{ 1,2, \ldots , p-1 \right\}}\) Pokazać, że \(\displaystyle{ p=1 \pmod{4}}\). Czy odwrotnie stwierdzenie zachodzi? Proszę o pomoc.

Działanie w ciele modulo p

\(\displaystyle{ a^2+b^2=0}\) z warunków zadania

rozłóżmy to na czynniki:

\(\displaystyle{ (a+b \sqrt{p-1})(a-b \sqrt{p-1})=0}\)

Oczywiście jeśli ta równość ma zachodzić musi istnieć pierwiastek znaczy, że \(\displaystyle{ p-1}\)

musi być resztą kwadratową a skoro ma być resztą kwadratową to:

\(\displaystyle{ \left( \frac{p-1}{p}\right)}\) powinno być równe jeden.

To obliczmy i zobaczmy czy tak jest:

Otóż ze wzoru mamy:

\(\displaystyle{ \left( \frac{p-1}{p}\right)= \left( \frac{-1}{p}\right)=(-1)^{ \frac{p-1}{2} }}\)

Jeżeli chcemy żeby była to reszta kwadratowa to wynik musi być równy jeden, czyli musi być:

\(\displaystyle{ 4|p-1}\) cnd...


W drugą stronę wystarczy wziąć:

\(\displaystyle{ 1,p-1}\)

bo obie są resztami kwadratowymi czyli:

\(\displaystyle{ a=1,b^2=p-1}\)

\(\displaystyle{ a^2+b^2=1^2+p-1=1+p-1=0}\)

Ale \(\displaystyle{ (a+b \sqrt{p-1})(a-b \sqrt{p-1})= a^2+b^2 (p-1)}\) i \(\displaystyle{ p-1 \neq 1}\)

\(\displaystyle{ (a+b \sqrt{p-1})(a-b \sqrt{p-1})=a^2-b^2(p-1)=a^2-b^2p+b^2=a^2+b^2}\)

Coś źle policzyłeś jest ok...nikt nie mówi, że:

\(\displaystyle{ p-1=1}\)

arek1357 pisze:Działanie w ciele modulo p

\(\displaystyle{ a^2+b^2=0}\) z warunków zadania

rozłóżmy to na czynniki:

\(\displaystyle{ (a+b \sqrt{p-1})(a-b \sqrt{p-1})=0}\)

Oczywiście jeśli ta równość ma zachodzić musi istnieć pierwiastek znaczy, że \(\displaystyle{ p-1}\)

musi być resztą kwadratową a skoro ma być resztą kwadratową to:

Tak nie rozumujemy w matematyce.

Poprawna wersja:
Mamy \(\displaystyle{ a^2=-b^2\pmod{p}}\)
zatem \(\displaystyle{ (ab^{-1})^2=-1\pmod{p}}\)
więc \(\displaystyle{ (-1)}\) jest resztą kwadratową. Stąd wynika, że \(\displaystyle{ (-1)^{(p-1)/2}=1 \pmod{p}}\).

O tym właśnie pisałem

Ja mam właśnie takie rozumowanie i ono jest jak najbardziej poprawne !

Twoje rozumowanie jest błędne.

W którym miejscu?


Ale bez lania wody


Bo to co napisałeś poprzednio nie wskazuje na to że napisałem coś błędnie!


Skoro \(\displaystyle{ Z_{p}}\) jest ciałem to mam prawo gwarantowane przez konstytucję
wykonywać wszystkie działania w tym ciele.

Jesteś jak moja pani od wszystkiego, która czepiała się jak ktoś powiedział nie jej słowami tylko swoimi.

arek1357 pisze:W którym miejscu?


Ale bez lania wody


Bo to co napisałeś poprzednio nie wskazuje na to że napisałem coś błędnie!


Skoro \(\displaystyle{ Z_{p}}\) jest ciałem to mam prawo gwarantowane przez konstytucję
wykonywać wszystkie działania w tym ciele.

Pierwiastkujesz liczbę.

Pierwiastkiem nazywamy taką liczbę, która po podniesieniu do potęgi drugiej daje liczbę podpierwiastkową,
Tę definicję nauczono mnie w zerówce, oraz to , że może być stosowana w każdym ciele!,
Jeżeli natomiast w danym ciele nie ma szukanego pierwiastka dołączamy go tworząc ciało będące jego rozszerzeniem, w naszym przypadku pierwiastek musiał istnieć bo znaczyłoby, że teza zadania jest zła!

Poza tym:
Każde ciało skończone ma dokładnie:

\(\displaystyle{ \frac{p-1}{2}}\) reszt kwadratowych i tyle samo niereszt kwadratowych.

Zero możemy wliczyć do reszt kwadratowych i wtedy będziemy mieli o jedną resztę więcej!

Każda reszta kwadratowa ma dwie takie liczby, które po podniesieniu do kwadratu daje tę resztę.
Ja osobiście te liczby, które po podniesieniu do potęgi drugiej dają resztę kwadratową nazywam
pierwiastkiem co mi wolno i gwarantuje mi to konstytucja oraz karta praw człowieka i obywatela!

Tak umiem od zerówki i nikt mi tego prawa nie odbierze nazywałem nazywam i będę nazywał pierwiastkiem choćby przyszedł tu doktor pięciokrotnie habilitowany i mi to zarzucił!!!

w naszym przypadku pierwiastek musiał istnieć bo znaczyłoby, że teza zadania jest zła!

To jest bez sensu.
W Twoim rozumowaniu bez uzasadnienia stwierdzasz, że \(\displaystyle{ (p-1)}\) jest resztą kwadratową.

Oczywiście że z uzasadnieniem bo musi istnieć pierwiastek, inaczej znaczyłoby, że rozszerzenie ciała (które notabene też byłoby ciałem)
o ten pierwiastek ma niezerowe dzielniki zera! a to bzdura!!!

No cóż, dodajesz nowe nieelementarne stwierdzenia do Twojego rozumowania. Ja odnoszę się do Twojego pierwszego posta i o niczym innym nie będę dyskutował. W zasadzie o niczym w ogóle już tu nie będę dyskutował, bo tym postem kończę moją aktywność w tym temacie.

Ok jasne moje rozumowanie jest dobre nie zawiera luk nie widzę błędów!!!
Cały ból istnienia wynika stąd, że traktuję ciało reszt tak samo jak np. ciało liczb rzeczywistych z działaniami i wszystko co za tym idzie. Niestety a może stety tak zostałem wychowany...
I przyzwyczajeń nie zmienię.

arek1357 pisze:Ok jasne moje rozumowanie jest dobre nie zawiera luk nie widzę błędów!!!

jeżeli czegoś nie widzisz, to nie znaczy, że tego nie ma. jaki sens mają Twoje rachunki np. dla \(\displaystyle{ p=7}\)