Matematyka.pl

Niech \(\displaystyle{ \mathcal{H}}\) będzie rzeczywistą, nieskończenie wymiarową, ośrodkową przestrzenią Hilberta. Czy istnieje nieskończony ciąg wektorów \(\displaystyle{ (x_i) \subset \mathcal{H}}\) taki, że \(\displaystyle{ \left\langle x_i, x_j\right\rangle <0, i \neq j}\)?

Bez straty ogólności możemy przyjąć, że \(\displaystyle{ H=\ell_2}\) (po prostu stosujemy tożsamość Parsevala). Załóżmy, że każdy zbiór \(\displaystyle{ F}\) elementów z \(\displaystyle{ \ell_2}\), które spełniają następujące warunki

• i. zbiór \(\displaystyle{ \{k\colon x(k)\neq 0\}}\) jest skończony dla każdego \(\displaystyle{ x\in F}\)
  
  ii. \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^\infty x_k \neq 0}\) dla każdego \(\displaystyle{ x\in F}\)
  
  iii. \(\displaystyle{ \langle x, y\rangle <0}\) dla różnych \(\displaystyle{ x,y\in F}\)

jest skończony i weźmy taki zbiór \(\displaystyle{ F=\{x_1, \ldots, x_n\}}\), który jest maksymalny co do spełniania warunków i., ii. oraz iii. Niech

• \(\displaystyle{ S = \{k\in \mathbb{N}\colon x_j(k)\neq 0\text{ dla pewnego }j\leqslant n\}.}\)

Zbiór \(\displaystyle{ S}\) jest skończony jako suma skończenie wielu zbiorów skończonych. Weźmy zatem \(\displaystyle{ n_0 = \max S +1}\) i rozważmy wektor

• \(\displaystyle{ \hat{x} = e_{n_0} + \sum_{k\in S}e_k.}\)

Element \(\displaystyle{ \hat{x}}\) spełnia warunki i. oraz ii. oraz nie należy do \(\displaystyle{ F}\). Z maksymalności \(\displaystyle{ F}\) musimy mieć \(\displaystyle{ \langle x, x_i\rangle > 0}\) (bo ciągi \(\displaystyle{ x_i}\) sumują się do niezerowej liczby). Biorąc element \(\displaystyle{ - \hat{x}}\) otrzymujemy zbiór

• \(\displaystyle{ F\cup \{- \hat{x}\}}\)

który jest większy od \(\displaystyle{ F}\) i spełnia warunki i-iii; sprzeczność z maksymalnością.

Uwaga 1. Jest to wersja rozumowania, które zastosowaliśmy z kolegą w 4 akapicie na stronie 2 w oraz w dowodzie Theorem 4.10 tamże.

Uwaga 2. Mimo że mówimy o maksymalności, nie potrzeba tu pełenej siły lematu Kuratowskiego-Zorna. To rozumowanie łatwo można przerobić na dowód indukcyjny, ale czasami takie rozumowanie jest bardziej transparentne.

Jako ćwiczenie można spróbować podać te wektory bezpośrednio.

Tak. Moje rozumowanie można jednak uogólnić następująco. Twierdzę, że w \(\displaystyle{ \ell_2(\omega_1)}\) istnieje taki nieprzeliczalny układ wektorów, że iloczyn każdej pary jego elementów jest ujemny. Po prostu zastąpmy skończoność \(\displaystyle{ F}\) przez przeliczalność i odpowiednio modyfikujemy wektor \(\displaystyle{ \hat{x}}\).

Pytanie. Niech \(\displaystyle{ \lambda}\) będzie nieprzeliczalną liczbą kardynalną. Czy w \(\displaystyle{ \ell_2(\lambda)}\) istnieje taki układ wektorów mocy \(\displaystyle{ \lambda}\), że \(\displaystyle{ \langle x, y \rangle < 0}\) dla różnych \(\displaystyle{ x,y}\) z tego układu? Gdy \(\displaystyle{ \lambda>\mathfrak{c}}\) odpowiedź jest negatywna.

• Postępujemy jak w dowodzie . Bez straty ogólności możemy wziąć \(\displaystyle{ \lambda=\mathfrak{c}^+}\), następną liczbę kardynalną po \(\displaystyle{ \mathfrak{c}}\). Załóżmy, że \(\displaystyle{ F\subset \ell_2(\lambda)}\) jest układem wektorów mocy \(\displaystyle{ \lambda}\), które spełniają warunek \(\displaystyle{ \langle x, y \rangle < 0}\). Z uogólnionej wersji (Theorem 1.6 w K. Kunen, Set theory, an introduction to independence proofs, North Holland, Amsterdam, 1980.) wynika, że istnieje taki podzbiór \(\displaystyle{ F_0\subseteq F}\) mocy \(\displaystyle{ \lambda}\) oraz taki zbiór przeliczalny \(\displaystyle{ \Delta \subset \lambda}\), że
  
  • \(\displaystyle{ {\rm supp}\, x \cap {\rm supp}\, y = \Delta}\)
  dla różnych \(\displaystyle{ x,y\in F_0}\). Zauważmy, że
  
  • \(\displaystyle{ \langle x, y \rangle = \sum_{\gamma\in \Delta}x(\gamma)y(\gamma).}\)
  [url=http://www.matematyka.pl/168546.htm]Istnieje jednak tylko continuum-wiele funkcji rzeczywistych na zbiorze \(\displaystyle{ \Delta}\)[/url], a więc musi istnieć taka para różnych elementów \(\displaystyle{ x,y\in F_0}\), że \(\displaystyle{ x(\gamma) = y(\gamma)}\) dla wszelkich \(\displaystyle{ \gamma\in \Delta}\). Wtedy jednak \(\displaystyle{ \langle x, y \rangle >0}\); sprzeczność.

Gdy \(\displaystyle{ \lambda = \aleph_0}\) to każdy taki zbiór jest przeliczalny.

• Istotnie, załóżmy, że \(\displaystyle{ F}\) jest zbiorem wektorów, których iloczyny skalarne są ujemne. Bez straty ogólności możemy przyjąć, że wszystkie elementy w \(\displaystyle{ F}\) mają normę 1. Dla różnych \(\displaystyle{ x,y\in F}\) mamy
  
  • \(\displaystyle{ \|x-y\|^2 = \|x\|^2 + \|y\|^2 - 2 \langle y, x\rangle > 1+1=2.}\)
  Oznacza to, że zbiór \(\displaystyle{ F}\) jest dyskretny. Gdy przestrzeń Hilberta jest ośrodkowa, musi być on przeliczalny.

Co gdy \(\displaystyle{ \lambda\leqslant \mathfrak{c}}\) jest nieprzeliczalna?