Matematyka.pl

Powiedzmy, iż mam funkcję rzeczywistą o wartościach rzeczywistych. Czy może być tak, że jest ona ciągła na pewnym zbiorze nigdziegęstym? Wydaje mi się, że nie, czy mam rację?

Jeśli byłaby ciągła, to po pierwsze obraz pewnego zbioru nigdziegęstego jest zbiorem otwartym (\(\displaystyle{ \mathbb{R}}\) z metryką euklidesową), a po drugie, przeciwobraz pewnego otwartego podzbioru prostej musiałby być otwartym podzbiorem naszego zbioru nigdziegęstego, ale jedyny taki zbiór, to zbiór pusty.

Do rozważań skłoniło mnie przyrównanie do zera całki \(\displaystyle{ \int_{0}^{1} \left| f(g(x)) \right| cos^{4} \left(\frac{1}{x}\right) dx}\) , która zeruje się dla \(\displaystyle{ cos^{4} \left(\frac{1}{x}\right)}\) na zbiorze nigdziegęstym, co przy prawdziwości napisanego powyżej stwierdzenia pozwalałoby stwierdzić, że jeśli \(\displaystyle{ f \in C([0,1])}\), to \(\displaystyle{ f = 0}\).

Rozumiem, że chodzi Ci o to, czy istnieje funkcja ciągła z, np zbioru Cantora na \(\displaystyle{ [0,1]}\), która jest ciągła na zbiorze Cantora? No to zbiór Cantora ma metrykę dziedziczoną z \(\displaystyle{ \RR}\), to połóżmy na zbiorze Cantora funkcję stałą. Wtedy dla każdego punktu \(\displaystyle{ x}\) ze zbioru Cantora dla każdego \(\displaystyle{ \epsilon > 0}\) możemy dobrać taką \(\displaystyle{ \delta > 0}\), że jeśli \(\displaystyle{ |x-y| < \delta}\), to \(\displaystyle{ |f(x) - f(y)| < \epsilon}\). To się trywializuje, bo każda taka różnica będzie zerem. Więc istnieje taka funkcja, np. funkcja stale równa \(\displaystyle{ 2}\).

Pozdrawiam

Być może nie wysłowiłem się dobrze - chodzi mi o funkcję ze zbioru nigdziegęstego ciągłą na otwartym podzbiorze liczb rzeczywistych:)
Zbiór Cantora zaś nie jest zbiorem otwartym w \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\), więc mogę go pominąć w rozważaniach.

Musisz wyrazić się jaśniej - dziedziną funkcji ma być zbiór nigdziegęsty, ale ma być ciągła na zbiorze otwartym? Chyba nie o to chodzi.

Przepraszam za nieścisłość.
Na przykład, niech \(\displaystyle{ A}\) będzie dowolnym, nieprzeliczalnym, nigdziegęstym podzbiorem prostej rzeczywistej.
Czy istnieje (zawsze? kiedykolwiek? nigdy?) funkcja ciągła "na" \(\displaystyle{ h : A \rightarrow U}\), gdzie \(\displaystyle{ U}\) jest otwartym podzbiorem prostej (na przykład odcinkiem \(\displaystyle{ (a,b)}\) dla pewnych \(\displaystyle{ a,b \in \mathbb{R}}\)), tj. dla ustalonego \(\displaystyle{ x \in A}\)

\(\displaystyle{ \forall _{\varepsilon > 0}\ \exists _{\delta > 0} \ \forall _{y \in A}}\) \(\displaystyle{ }\) \(\displaystyle{ \left( |x-y| < \delta \Longrightarrow |h(x) - h(y)| < \varepsilon \right)}\) ?

Zbiór \(\displaystyle{ A\subseteq \mathbb{R}}\) jest zbiorem punktów ciągłości pewnej funkcji \(\displaystyle{ \mathbb{R} \to \mathbb{R}}\) wtedy i tylko wtedy gdy jest typu \(\displaystyle{ G_\delta}\)



edit: a jednak to chyba nie na temat, ale zostawiam, bo to fajne

Czasem istnieje, ale nie zawsze.

1. Niech \(\displaystyle{ \mathcal{C}}\) będzie zbiorem Cantora. Wtedy obrazem obciętej do \(\displaystyle{ \mathcal{C} \cap (0, 1)}\) jest przedział otwarty \(\displaystyle{ (0, 1).}\)

2. Jeśli \(\displaystyle{ A}\) ma moc mniejszą niż continuum, to takiej funkcji oczywiście nie ma.
Jeśli \(\displaystyle{ A}\) jest zbiorem zwartym to też nie, bo obraz musiałby być zwarty, więc nie mógłby być otwarty.

Znalezienie ogólnej odpowiedzi wygląda na trudne zadanie.