Matematyka.pl

Dzień dobry,
mam zadanko dość rozbudowane, z odpowiedziami, potrafię zrobic podpunkt a i wychodzi dobrze a reszta jakoś nie za bardzo. Prosze o jakieś wskazówki.

W sklepie sa 3 skrzynie z pomaranczami i 2 z cytrynami. W każdej skrzyni z pomarańczami znajduje sie \(\displaystyle{ 3 \%}\) owoców zepsutych a w skrzyni z cytrynami \(\displaystyle{ 5 \%}\) zepsutych.

b1)kontroler pobiera losowo 5 razy po jednym owocu zwracając. Oblicz prawdopodobieństwo że jeden owoc będzie zepsuty (odp \(\displaystyle{ 0,17}\))
b2)że trzy owoce będą pomarańczami a dwie cytrynami

Dziękuje za pomoc:)
albo nawet jakies wskazówki

Jeżeli kontroler zwracał, to chyba wszystkie są zepsute

B1: na pięć sposobów wybierasz, który jest zepsuty. Potem mnożysz to przez \(\displaystyle{ p^4}\) (sukcesy) i \(\displaystyle{ (1-p)^1}\) (porażka). Tutaj \(\displaystyle{ p}\) jest niczym innym, jak tylko prawdopodobieństwem, że losowo wyciągnięty owoc z dowolnej skrzynki będzie w porządku.

No tak z tym zwracaniem to prawda

Ale nie czaje za bardzo tego rozwiązania. \(\displaystyle{ p^{4}}\) ? Dlaczegóż tak? i za P mam wstapić ogólnie prawdopodobieństwo ze wylosuje zepsuty owoc?

Kontroler zwraca owoce z powrotem dlatego prawdopodobieństwo wylosowania owocu który będzie w porządku jest zawsze takie samo. Kolejne losowania są nie zależne od siebie dlatego możemy skorzystać ze schematu Bernoulliego stąd to \(\displaystyle{ p}\)

\(\displaystyle{ P(A) = {n\choose k}p^{k}(1-p)^{n-k}}\)

\(\displaystyle{ p}\) - prawdopobieństwo wylosowania owocu który jest w porządku w pojedyńczym losowaniu.

\(\displaystyle{ p= \frac{3}{5} \cdot \frac{97}{100} + \frac{2}{5} \cdot \frac{95}{100} = ...}\)

Ad 1
Może łatwiej Ci będzie przyjąć, że sukcesem (p) jest wybranie owocu zepsutego.
Wówczas \(\displaystyle{ p= \frac{3}{5} \cdot \frac{3}{100} + \frac{2}{5} \cdot \frac{5}{100}= \frac{19}{500}}\)
A wtedy:
\(\displaystyle{ P(A) = {5\choose 1}( \frac{19}{500}) ^{1}( \frac{481}{500} )^4 \approx 0,17}\)

Ad 2
W kolejnych pięciu losowaniach owoce mogą pojawiać się na 10 sposobów:
PPPCC
PPCPC - jak masz ochotę, to możesz wypisać wszystkie, jak nie, to możesz skorzystać ze wzoru na permutacje z powtórzeniami \(\displaystyle{ P_{5} ^{3,2} =10}\)
Każdy układ można otrzymać z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ \frac{3}{5} \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{5} \cdot \frac{2}{5}= \frac{108}{3125}}\)
A zatem \(\displaystyle{ P(B)=10 \cdot \frac{108}{3125} \approx 0,35}\)

jesteście super dziekuję!