Matematyka.pl

W okrąg o promieniu \(\displaystyle{ 6\mbox{ cm}}\) wpisano czworokąt \(\displaystyle{ ABCD}\) taki, że boki \(\displaystyle{ AD}\) i \(\displaystyle{ DC}\) są równe a kąt \(\displaystyle{ ABC}\) ma \(\displaystyle{ 120}\) stopni. Obliczyć pole tego czworokąta jeżeli pole trójkąta \(\displaystyle{ ABD}\) i \(\displaystyle{ BCD}\) jest równe \(\displaystyle{ 2:1}\).
Nie wiem co z tym zrobić. Z tw cosinusów obliczyłem długości boków \(\displaystyle{ AD = DC}\) ale co dalej ???

Trójkąt \(\displaystyle{ ACD}\) jest trójkątem równobocznym ponieważ kąt przy wierzchołku \(\displaystyle{ D}\) ma miarę \(\displaystyle{ 60^\circ}\), wynika to z własności czworokąta wpisanego w okrąg, z tego uzyskamy długość odcinka \(\displaystyle{ AD, DC, AC}\), ponieważ trójkąt \(\displaystyle{ ADC}\) jest trójkątem równobocznym wpisanym w okrąg czyli \(\displaystyle{ R=\frac {2}{3} h}\). Potem można sobie policzyć sinus kąta \(\displaystyle{ ABD}\) ze twierdzenia sinusów, podobnie kąt \(\displaystyle{ DBC}\).

Kąty o których mówisz widać natychmiast, że mają po \(\displaystyle{ 60}\) stopni ale co to mi daje???

Potem można wykorzystać fakt o polach. Policzyć pole trójkąta \(\displaystyle{ ABD}\) używając do tego bok \(\displaystyle{ AB}\) i \(\displaystyle{ BD}\) i sinus kąta między nimi. Podobnie pole trójkąta \(\displaystyle{ BCD}\). Wynika z tego że \(\displaystyle{ |AB|=2|BC|}\). A potem z twierdzenia cosinusow dla trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\) policzyć ile wynosi długość odcinka \(\displaystyle{ AB}\) i \(\displaystyle{ BC}\).