W okrag wpisano trapez, ktorego podstawa jest srednica okregu. Stosunek sumy dlugosci podstaw trapezu do jego obwodu rowny jest 2/3. Oblicz cosinus kata ostrego trapezu.
wszystko pieknie tylko jak sie do tego zabrac a najlepiej jak to w ogole zrobic??
Oblicz cosinus kąta ostrego trapezu
Oblicz cosinus kąta ostrego trapezu
Niech AB - średnica, środek okręgu O, trapez ABCD (CD||AB) AB = a, DC = b, AD = BC = c
Mamy, że \(\displaystyle{ a+b = \frac{2}{3}(a+b+2c)}\) stąd \(\displaystyle{ c = \frac{1}{4}(a+b)}\)
Skoro AB jest średnicą, to kąty ADB i BCA są proste.
Kąty ostre tego trapezu to te przy średnicy, czyli kąt ABC i kąt BAD
Z trójkąta prostokątnego ADB: \(\displaystyle{ \cos{BAD} = \frac{c}{a} =}\)
A dalej chyba pójdzie z tw. Ptolemeusza:
W dowolnym czworokącie ABCD wpisanym w okrąg iloczyn długości przekątnych równa się sumie iloczynów długości boków przeciwległych:
Czyli tutaj:
\(\displaystyle{ d^2 = ab +c^2}\)
stad \(\displaystyle{ b = \frac{a^2-2c^2}{a} = a - \frac{2c^2}{a}}\)
i \(\displaystyle{ c= \frac{1}{4}(2a - \frac{2c^2}{a})= \frac{1}{4}( \frac{2a^2 -2c^2}{a})}\)
czyli
\(\displaystyle{ 2ac = a^2 - c^2}\)
\(\displaystyle{ 2\frac{c}{a} = 1 - (\frac{c}{a})^2}\)
przypominam, że chcemy mieć wartość cosinusa:
\(\displaystyle{ \cos\alpha = \frac{c}{a}}\)
czyli mamy równanie kwadratowe:
\(\displaystyle{ {\cos\alpha}^2 +2{\cos\alpha} -1 = 0}\)
delta = 2sqrt2
stad dwie możliwości:
\(\displaystyle{ {\cos\alpha} = \frac{-2- 2\sqrt{2}}{2} =-1-\sqrt{2}}\) lub też \(\displaystyle{ {\cos\alpha} = \frac{-2+ 2\sqrt{2}}{2} =-1+\sqrt{2}}\)
Ta pierwsza wartość nie jest dobra, bo jest >2, pozostaje druga, że
\(\displaystyle{ {\cos\alpha} =\sqrt{2}-1}\)
Mamy, że \(\displaystyle{ a+b = \frac{2}{3}(a+b+2c)}\) stąd \(\displaystyle{ c = \frac{1}{4}(a+b)}\)
Skoro AB jest średnicą, to kąty ADB i BCA są proste.
Kąty ostre tego trapezu to te przy średnicy, czyli kąt ABC i kąt BAD
Z trójkąta prostokątnego ADB: \(\displaystyle{ \cos{BAD} = \frac{c}{a} =}\)
A dalej chyba pójdzie z tw. Ptolemeusza:
W dowolnym czworokącie ABCD wpisanym w okrąg iloczyn długości przekątnych równa się sumie iloczynów długości boków przeciwległych:
Czyli tutaj:
\(\displaystyle{ d^2 = ab +c^2}\)
stad \(\displaystyle{ b = \frac{a^2-2c^2}{a} = a - \frac{2c^2}{a}}\)
i \(\displaystyle{ c= \frac{1}{4}(2a - \frac{2c^2}{a})= \frac{1}{4}( \frac{2a^2 -2c^2}{a})}\)
czyli
\(\displaystyle{ 2ac = a^2 - c^2}\)
\(\displaystyle{ 2\frac{c}{a} = 1 - (\frac{c}{a})^2}\)
przypominam, że chcemy mieć wartość cosinusa:
\(\displaystyle{ \cos\alpha = \frac{c}{a}}\)
czyli mamy równanie kwadratowe:
\(\displaystyle{ {\cos\alpha}^2 +2{\cos\alpha} -1 = 0}\)
delta = 2sqrt2
stad dwie możliwości:
\(\displaystyle{ {\cos\alpha} = \frac{-2- 2\sqrt{2}}{2} =-1-\sqrt{2}}\) lub też \(\displaystyle{ {\cos\alpha} = \frac{-2+ 2\sqrt{2}}{2} =-1+\sqrt{2}}\)
Ta pierwsza wartość nie jest dobra, bo jest >2, pozostaje druga, że
\(\displaystyle{ {\cos\alpha} =\sqrt{2}-1}\)
Oblicz cosinus kąta ostrego trapezu
dziękuje uprzejmie
edit: jest pozno wiec moge poprostu nie widziec. Ale co sie stalo z d? czym zostalo zastapione lub co za nie zostalo podstawione bo brakuje mi go w dalszym liczeniu. Jesli mozna prosic to bede wdzięczny.
edit: jest pozno wiec moge poprostu nie widziec. Ale co sie stalo z d? czym zostalo zastapione lub co za nie zostalo podstawione bo brakuje mi go w dalszym liczeniu. Jesli mozna prosic to bede wdzięczny.
Ostatnio zmieniony 7 lut 2005, o 00:40 przez kba, łącznie zmieniany 1 raz.
Oblicz cosinus kąta ostrego trapezu
Nie dziękuj, zabrakło kawałka zadania,
muszę jeszcze uzupełnić, d jest długością przekatnej tego trapezu i za razem przeciwprostokatną w trójkącie ABD, z tw. Pitagorasa\(\displaystyle{ d^2 = a^2 - c^2}\) co razem z tw. Ptolemeusza daje równość na b, która napisałam powyżej.Yavien pisze:Czyli tutaj:
\(\displaystyle{ d^2 = ab +c^2}\)
stad \(\displaystyle{ b = \frac{a^2-2c^2}{a} = a - \frac{2c^2}{a}}\)