Matematyka.pl

Witam,

Mam kilka zadanek ponoć konkursowych, gdyż znalazłem je kiedyś na jakiejś stronce (tzn. na stronie wydawnictwa GWO jest dział z konkursami i tam pościągałem dużo zadanek) i teraz rozwiązuje, ale że nie mogę znaleźć odpowiedzi u was będę czasami zapodawał kilka zadanek i prosił o zweryfikowanie poprawnej odpowiedzi.

Zadanie 3. (3 punkty)
Na trapezie równoramiennym ABCD opisano okrąg o promieniu \(\displaystyle{ 10}\)cm. Oblicz długość ramion oraz długość przekątnej trapezu, jeżeli |AB| = \(\displaystyle{ 20}\)cm, |CD| = \(\displaystyle{ 12}\)cm

Zadanie 4. (4 punkty)
Obwód koła równy jest \(\displaystyle{ 30 \pi}\) cm. Cięciwa MP przecina średnicę AB pod kątem 60 stopni i dzieli ją w stosunku \(\displaystyle{ 1 : 5}\). Oblicz odległość środka koła od cięciwy MP.

Zadanie 5. (4 punkty)
Znajdź liczbę sześciocyfrową, wiedząc, że pierwsza jej cyfrą jest 3, a po przestawieniu trójki na koniec uzyskamy liczbę stanowiącą \(\displaystyle{ 25\%}\) liczby szukanej.

Do każdego zadania mam swoje rozwiązanie, nie wiem czy podać je? Nie jestem obeznany tutaj z forum za bardzo, więc nie wiem czy wpierw podać swoje rozwiązanie, poczekać na wasze rozwiązania itd. Poczekam wpierw, potem porównam.

Podaj swoje rozwiązania to się sprawdzi

Zadanie 5
\(\displaystyle{ a=3, \ b,c,d,e,f \lbrace0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\rbrace}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{4}(300000+10000b+1000c+100d+10e+f) = 100000b+10000c+1000d+100e+10f+3 \\ \frac{1}{4}(300000+10000b+1000c+100d+10e+f) \ b=0 \\ \frac{1}{4}(300000+1000c+100d+10e+f=10000c+1000d+100e+10f+3 \\ 75000+\frac{1}{4}(1000c+100d+10e+f)-3=10(1000c+100d+10e+f) \\ 74997=10(1000c+100d+10e+f)-\frac{1}{4}(1000c+100d+10e+f) \\ 74997=(1000c+100d+10e+f)(10-\frac{1}{4}) \\ 74997=\frac{39}{4}(1000c+100d+10e+f) \\ (1000c+100d+10e+f)=74997 \frac{4}{39} \\ (1000c+100d+10e+f)=7692 \\ 100000a+10000b+1000c+100d+10e+f=300000+7692=307692}\)

Odp: Ta liczba to 307692.

4.
Ze wzoru na długość okręgu łatwo policzyć promień
\(\displaystyle{ r=15\\
|AO|=5x\\
|OB|=x\\
c=15-x\\
c=5x-15\\
15-x=5x-15\\
30=6x\\
x=5\\
c=15-x=15-5=10\\
\cot 60^{\circ}=\frac{c}{a}\\
a=c: \cot 60^{\circ}=10 : \frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{30}{\sqrt{3}}=10\sqrt{3}}\)

3)
Jeżeli czworokąt jest wpisany w okrąg, to iloczyn długości jego przekątnych jest równy sumie iloczynów długości boków przeciwległych, czyli:ef=ac+bd , gdzie e, f są przekątnymi tego czworokąta, natomiast a, b, c, d są długościami boków tego czworokąta.
\(\displaystyle{ P=\frac{(22+2c)10}{2}=\frac{22h}{2}}\) pole trapezu
\(\displaystyle{ h^{2}+(\frac{20-12}{2})^{2}=c^{2}}\)

Znaczy moje wnioskowanie i rozważania są takie:

Zadanie 3.

Tutaj od razu znam promień który wynosi \(\displaystyle{ 10}\)
Dalej wiem, że \(\displaystyle{ AB = 20 cm}\), a że średnica jest najdłuższą cięciwą (w tym zadaniu średnica to \(\displaystyle{ 20cm}\)), to widać gołym okiem AB to średnica.

Dalej rysuje sobie na kartce to wszystko, rysuje przekątną, która dzieli trapez na dwa trójkąty (w tym jeden prostokątny) i korzystam ze wzoru \(\displaystyle{ H = \sqrt{p*q}}\), którym obliczam wysokość trapezu (gdzie p i q są odcinkami, które wyznaczam, prowadząc wysokość trójkąta prostokątnego na podstawę trapezu dłuższą i p to odcinek krótszy (4cm) a 'q' dłuższy (16cm)

A potem już dalej łatwo obliczam, że ramię ma długość \(\displaystyle{ 4\sqrt{5}}\) i \(\displaystyle{ d = 8\sqrt{5}}\)

Zadanie 4.
To dość banalne, łatwo wyznaczam \(\displaystyle{ R}\) ze wzoru \(\displaystyle{ 2\piR = 30 \pi}\) potem zaznaczam podział średnicy na odcinek \(\displaystyle{ 5 cm}\) i \(\displaystyle{ 25cm}\) (stosunek 1 : 5)
Kąt 60 stopni, to od razu widać, że można tam zrobić pomocniczy trójkąt równoboczny i taki też rysuję, gdzie wysokość trójkąta równobocznego będzie odległością od cięciwy.

\(\displaystyle{ 2\piR = 30 \pi}\)
\(\displaystyle{ 2R = 30}\)
\(\displaystyle{ R = 15}\)
\(\displaystyle{ 6x = 30}\)
\(\displaystyle{ x = 5}\)
R - promień
x - odcinek najkrótszy wyznaczająćy stosunek \(\displaystyle{ 1 : 5}\) - czyli ten jednostkowy
Teraz obliczam odległość środka od przecięcia, to jest \(\displaystyle{ 2x = 10 cm}\)
a \(\displaystyle{ 10cm}\) to bok trójkąta równobocznego czyli \(\displaystyle{ a}\) i już mam odległość od cięciwy


Odległość wyszła mi \(\displaystyle{ 5* \sqrt{3}}\)
EDIT: Znalazłem identyczne zadanie w starej książce po siostrze, tzn. Repetytorium ośmioklasisty WSiP (239/zad. 7*) - a w odpowiedziach jest wynik \(\displaystyle{ 5 * \sqrt{3}}\)
Czyli teraz mam dobry wynik

PS. podoba mi się już od samego początku tutaj

Jeszcze jedno zadanko, które robią moi znajomi na komisjach (jest to zadanie jedno z ostatnich żeby dopełnić do 100% i dostać 6) i prosili mnie żebym je zrobił, póki co dostałem tylko jedno i zrobiłem, proszę o komentarz czy rozwiązanie jest poprawne.

Zadanie.
Wyznacz obwód ośmiokąta foremnego wpisanego w okrąg o promieniu \(\displaystyle{ r = 6cm}\).

W dochodzeniu do odpowiedzi korzystałem wyłącznie z twierdzenia pitagorasa, konstrukcja dwusiecznej i symetralnej. Wynik to \(\displaystyle{ 8 * \sqrt{72 - 32\sqrt2}}\)
Budzi we mnie duże wątpliwości ten wynik, dlatego daje do sprawdzenia większemu gronu osób obeznanych w matematyce.
EDIT - chodziło o wyznaczenie pola, co jest banalne i nie trzeba nic na ten temat pisać... ;P

Proszę o odpowiedź do tego zadania i wcześniejszych!
Dziękuję i pozdrawiam, n0need

Wg mnie rozwiązanie Sylwka jest jak najbardziej poprawne ale istnieje prostsza (bardziej gimnazjalna) metoda.
\(\displaystyle{ \frac{300000+a}{4}=10\cdot a+3}\) Po rozwiązaniu \(\displaystyle{ a=7692}\) ale szukana liczba to \(\displaystyle{ 307692}\) więc po przestawieniu trójki otrzymujemy \(\displaystyle{ 76923}\) która stanowi 25% szukanej. Wszystko się zgadza

[ Dodano: 19 Czerwca 2007, 12:54 ]
Mam zastrzeżenia do rozwiązania Setch Mam wrażenie jakby zostały pomylone boki trójkąta. Mój wynik to \(\displaystyle{ 5\cdot\sqrt{3}}\)

Teraz następne dwa zadania z geometrii!

Zadanie 1. W okrąg o długości \(\displaystyle{ 10\pi cm}\) wpisano trapez tak, że jego dłuższa podstawa jest równa średnica. Oblicz pole i obwód tego trapezu, jeżeli przekątna trapezu jest równa \(\displaystyle{ 5*\sqrt{3} cm}\).

Zadanie 2.
Oblicz obwód i pole sześciokąta foremnego, wiedząc, że różnica między długością dłuższej i krótszej przekątnej tego sześciokąa jest równa \(\displaystyle{ 2cm}\).

Odpowiedzi (do sprawdzenia):

Zadanie 1.
\(\displaystyle{ 10\pi cm = 2\piR cm}\)
\(\displaystyle{ R = 5 cm}\)
Potem pewne obliczenia, co nieco zauważa człowiek i... \(\displaystyle{ P = \frac{75*\sqrt{3} }{4}}\)
oraz
\(\displaystyle{ Obw = 25}\)

Zadanie 2.
\(\displaystyle{ 2a - 2 = a * \sqrt{3}}\)
\(\displaystyle{ a = 2*\sqrt{3} + 4}\)
Obliczamy pole i obwód
\(\displaystyle{ P = 6 * \frac{a^{2} * \sqrt{3} }{4}}\)
\(\displaystyle{ P = 6 * \frac{(2*\sqrt{3} + 4)^{2} * \sqrt{3} }{4}}\)
\(\displaystyle{ P = 42*\sqrt{3} + 72}\)
\(\displaystyle{ Obw = 6a}\)
\(\displaystyle{ Obw = 6 * (2*\sqrt{3} + 4)}\)
\(\displaystyle{ Obw = 12*\sqrt{3} + 24}\)

Wszystko dobrze?

Wygląda na to że wszystko dobrze ale wzór na pole sześciokąta foremnego wygląda raczej tak:
\(\displaystyle{ 6\cdot\frac{a^{2}\cdot\sqrt{3}}{4}}\) Ze złego wzoru wyszedł dobry wynik, zadziwiające:)

Jejku, sorka!

Po prostu, na kartce zrobiłem sobie obliczenia z dobrze dobranym wzorem (dla mianownika {4}), a tutaj tylko wzialem rozpisałem bez, żeby każdy wiedział, co z czego wychodzi i podałem wynik.

Więc po prostu to jest "Jakiś błąd" (chyba nie czeski, a jaki? ).

Zara jakieś zadanka skądś przepisze z 3-4 to sobie pogłówkuje i wy... ale na poziomie gimnazjum ofkorz

[ Dodano: 25 Czerwca 2007, 22:00 ]
Wszystkie zadania są z Wojewódzkiego Konkursu Matematycznego dla uczniów szkół gimnazjalnych.
Eliminacje rejonowe:
1. W rombie o obwodzie \(\displaystyle{ 40 cm}\) wysokość \(\displaystyle{ h_{1} = 6 cm}\). Jaka jest długość drugiej wysokości tego rombu?

2. Przez środek wysokości trójkąta równobocznego poprowadzono prostą równoległą do jednego z boków trójkąta. Ile wynosi stosunek pól figur, na jakie ta prosta podzieliła trójkąt?

3. Na odcinku o długości 12cm oraz jego połowach jako średnicach zakreślono trzy okręgi. Jaka jest długość promienia stycznego do tych trzech okręgów?

Jedno zadanko z finału:
1. Trzy boki trapezu mają tę samą długość wynoszącą a. Czwarty bok i obydwie przekątne mają również tę samą długość, która wynosi b. Jaka jest miara kąta ostrego tego trapezu?

To tyle

Geometrii nie cierpię, ale jeśli chodzi o ten brzydki pierwiastek, to mogę podpowiedzieć, że \(\displaystyle{ \sqrt{72-32\sqrt{2}} = \sqrt{8(9-4\sqrt{2})} = \sqrt{8(2\sqrt{2} - 1)^{2}} = 2\sqrt{2} (2\sqrt{2}-1) = 8 - 2\sqrt{2}}\)
Powodzenia w dalszych zadaniach ; )

Thx za pokazanie, że można uprościć pierwiastek - szczerze, nie zauważyłem tego w ogóle

Poza tym, te zadania z geometrii są proste dość, bo w nich tutaj nie trzeba zauważyć aż tak dużo tylko trochę danymi pomanipulować i już. Bo to są zadanka jeszcze prostsze - bo z eliminacji rejonowych i zamknięte tak naprawde są to zadania, a nie otwarte. (za 1 lub 2 pkt).

Trudniejsze zadanie z geometrii jak możecie zobaczyć, ktoś kto zajrzy tutaj - to Pole pięciokąta - autor Prefix (autor tematu) - niech ktoś poda rozwiązanie.

ps. jeżeli mam zadanka konkursowe to umieszczać je w dziale konkursów (przecież tam same konkursy lic/stud...) czy w 2+2= ? (te podforum)?

najlepeiej w takim dziale jakim zadanie porusza tematyka